《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

已知$\triangle ABC$的三边长分别为3,5,7,$\triangle DEF$的三边长分别为3,$3x - 2$,$2x - 1$,若这两个三角形全等,则$x$为(C)
A.$\frac{7}{3}$
B.4
C.3
D.3或$\frac{7}{3}$

答案： 【解析】：
题目考查全等三角形的性质，即全等三角形的对应边相等。
由于题目没有给出明确的对应边关系，需要我们对可能的对应边进行分类讨论。
第一种情况：假设$3x - 2$与5是对应边，那么有$3x - 2 = 5$，解这个方程我们得到$x = \frac{7}{3}$。
将$x = \frac{7}{3}$代入$2x - 1$，得到$2x - 1 = \frac{14}{3} - 1 = \frac{11}{3}$。
但是$\frac{11}{3}$并不等于7，且$\frac{7}{3}+\frac{11}{3}=6\ne 5+3$，不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），这种情况下不能构成三角形，所以$x = \frac{7}{3}$不是解。
第二种情况：假设$3x - 2$与7是对应边，那么有$3x - 2 = 7$，解这个方程我们得到$x = 3$。
将$x = 3$代入$2x - 1$，得到$2x - 1 = 6 - 1 = 5$，满足全等三角形的条件。
同时需要检验三边是否满足三角形的条件，即$3+5＞7$，$3+7＞5$，$5+7＞3$，且$|3-5|＜7$，$|3-7|＜5$，$|5-7|＜3$，满足条件，所以能构成三角形。
因此，$x = 3$是题目的解。
【答案】：
C

例2 如图,$D是\triangle ABC中BC$边上一点,$E是AD$上一点,$EB = EC$,$\angle BAE = \angle CAE$,求证：$\angle ABE = \angle ACE$。

答案：
【解析】：本题主要考查全等三角形的判定与性质。
过点$E$作$EM\perp AB$于点$M$，$EN\perp AC$于点$N$，构造出$\triangle AME$和$\triangle ANE$，利用$AAS$证明$\triangle AME\cong\triangle ANE$，得到$EM = EN$，再结合$EB = EC$，利用$HL$证明$Rt\triangle BME\cong Rt\triangle CNE$，进而得出$\angle ABE = \angle ACE$。
【答案】：
证明：如图，过点$E$作$EM\perp AB$于点$M$，$EN\perp AC$于点$N$，则$\angle AME=\angle ANE = 90^{\circ}$。
在$\triangle AME$和$\triangle ANE$中，
$\begin{cases}\angle AME=\angle ANE\\\angle MAE=\angle NAE\\AE = AE\end{cases}$
$\therefore\triangle AME\cong\triangle ANE(AAS)$。
$\therefore EM = EN$。
在$Rt\triangle BME$和$Rt\triangle CNE$中，
$\begin{cases}EB = EC\\EM = EN\end{cases}$
$\therefore Rt\triangle BME\cong Rt\triangle CNE(HL)$。
$\therefore\angle ABE=\angle ACE$。