《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

1. (内江)如图,在$□ ABCD$中,已知$AB= 12,$$AD= 8,∠ABC$的平分线 BM 交边 CD 于点M,则 DM 的长为 (B)

A.2
B.4
C.6
D.8

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=12，AD=BC=8，AB//CD。
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM。
∵AB//CD，
∴∠ABM=∠BMC。
∴∠CBM=∠BMC，
∴BC=MC=8。
∴DM=CD-MC=12-8=4。
答案：B

2. 如图,在菱形 ABCD 中,点 E 在边 BC 上,$AE= AB$,连接 DE. 若$∠BAE= 40^{\circ }$,则$∠EDC$的大小为 (B)

A.$10^{\circ }$
B.$15^{\circ }$
C.$18^{\circ }$
D.$20^{\circ }$

答案： 解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=AD=BC=CD，∠ABC=∠ADC，AD//BC，AB//CD。
∵ AE=AB，∠BAE=40°，
∴ △ABE为等腰三角形，∠ABE=∠AEB=(180°-40°)/2=70°，
∴ ∠ABC=70°，∠ADC=70°。
∵ AD//BC，
∴ ∠DAE=∠AEB=70°（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠BAD=∠BAE+∠DAE=40°+70°=110°。
∵ AB//CD，
∴ ∠ADC+∠BAD=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∠C=180°-∠BAD=70°（已证∠ADC=70°，亦符合）。
∵ AD=AE（AB=AD且AE=AB），
∴ △ADE为等腰三角形，∠ADE=∠AED=(180°-∠DAE)/2=(180°-70°)/2=55°。
∴ ∠EDC=∠ADC-∠ADE=70°-55°=15°。
答案：B

3. (营口)如图,将$\triangle ABC$沿着 BC 方向平移得到$\triangle DEF$,只需添加一个条件即可证明四边形ABED 是菱形,这个条件可以是AB=AD. (写出一个即可)

答案： 解：因为△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，所以AD//BE，AD=BE，AB//DE，AB=DE，所以四边形ABED是平行四边形。要使平行四边形ABED是菱形，只需添加一组邻边相等，如AB=AD。
故答案为：AB=AD（答案不唯一）

4. 如图,在$□ ABCD$中,对角线 AC,BD 相交于点 O,若$DO= 1.5cm,AB= 5cm,BC= $$4 cm$,则$□ ABCD$的面积为12$cm^{2}.$

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO=1.5cm，BD=BO+DO=3cm，AD=BC=4cm。
在△ABD中，AB=5cm，AD=4cm，BD=3cm，
∵$3^2 + 4^2 = 5^2$，即$BD^2 + AD^2 = AB^2$，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°。
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AD×BD=\frac{1}{2}×4×3=6cm^2$。
∵平行四边形ABCD的面积=2×$S_{△ABD}$，
∴$S_{□ABCD}=2×6=12cm^2$。
12

5. (无锡)如图,正方形 ABCD 的边长为 8,点E 是 CD 的中点,HG 垂直平分 AE 且分别交 AE,BC 于点 H,G,则$BG= $1.

答案： 解：以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
则A(0,0)，B(8,0)，C(8,8)，D(0,8)。
∵E是CD中点，
∴E(4,8)。
设直线AE的解析式为y=kx，将E(4,8)代入得8=4k，k=2，
∴AE：y=2x。
AE中点H的坐标为((0+4)/2,(0+8)/2)=(2,4)。
∵HG垂直平分AE，
∴HG的斜率为-1/2。
设HG的解析式为y-4=-1/2(x-2)，即y=-1/2x+5。
∵G在BC上，BC的方程为x=8，将x=8代入HG的解析式得y=-1/2×8+5=1。
∴G(8,1)，则BG=0-1的绝对值=1（此处应为G点纵坐标为1，B点纵坐标为0，故BG=1-0=1）。
BG=1。

6. 如图,已知四边形 ABCD 是正方形,$AB= $$2\sqrt {2}$,点 E 为对角线 AC 上一动点,连接DE,过点 E 作$EF⊥DE$,交射线 BC 于点F,以 DE,EF 为邻边作矩形 DEFG,连接 CG.
(1)$CE+CG= $4;
(2)若$S_{四边形DEFG}= 5$时,则$CG= $3 或 1.

答案：
(1) 4
(2) 3 或 1

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },∠CAB= $$30^{\circ },\triangle ABD$是等边三角形,E 是 AB 的中点,连接 CE 并延长交 AD 于点 F. 求证:
(1)$\triangle AEF\cong \triangle BEC;$
(2)四边形 BCFD 是平行四边形.

答案：
(1)证明：
∵△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠DAB=∠ABC，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
在△AEF和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠FAE=∠CBE\\ AE=BE\\ ∠AEF=∠BEC\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BEC(ASA)；
(2)证明：
∵E是AB的中点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴CE=BE=AE，∠ABC=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵△AEF≌△BEC，
∴∠AFE=∠BCE=60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，AD=AB，
∴∠AFE=∠ADB，
∴CF//BD，
∵∠CAB=30°，∠DAB=60°，
∴∠DAC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DAC=∠ACB，
∴AD//BC，
∴四边形BCFD是平行四边形。