《2025年赢在暑假抢分计划八年级数学人教版》

17. (7分)如图,上午8时,一艘轮船从A处出发,以15海里/时的速度向正北方向航行,在A处测得灯塔C在北偏西30°,10时到达B处,测得灯塔C在北偏西60°,若船继续向正北方向航行,求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处。

答案： 解：根据题意，得 $AB = 15×(10 - 8)=30$ 海里。
$\because \angle DBC = 60^\circ$，$\angle CAD = 30^\circ$，
$\therefore \angle BCA = \angle DBC - \angle CAD = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$，
$\therefore \angle BCA = \angle CAD$，
$\therefore CB = AB = 30$ 海里。
$\because CD$ 是灯塔 $C$ 的正东方向，$\therefore \angle CDB = 90^\circ$，
在 $\text{Rt}\triangle CDB$ 中，$\angle BCD = 90^\circ - \angle DBC = 30^\circ$，
$\therefore DB = \frac{1}{2}CB = \frac{1}{2}×30 = 15$ 海里。
轮船从 $B$ 到 $D$ 的时间为 $15÷15 = 1$ 小时，
$\therefore 10 + 1 = 11$ 时。
答：轮船 11 时到达灯塔 $C$ 的正东方向 $D$ 处。

18. (8分)如图,在△ABC中,AB= AC,BD,CE是高,BD与CE相交于点O。
(1)求证：OB= OC；
(2)若∠ABC= 50°,求∠BOC的度数。

答案： （1）证明：$\because AB=AC$，$\therefore \angle ABC=\angle ACB$。
$\because BD$，$CE$是$\triangle ABC$的高，$\therefore \angle ADB=\angle AEC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle A+\angle ABD=90^{\circ}$，$\angle A+\angle ACE=90^{\circ}$，$\therefore \angle ABD=\angle ACE$。
$\because \angle ABC=\angle ACB$，$\therefore \angle ABC-\angle ABD=\angle ACB-\angle ACE$，即$\angle OBC=\angle OCB$，
$\therefore OB=OC$。
（2）解：$\because AB=AC$，$\angle ABC=50^{\circ}$，$\therefore \angle ACB=50^{\circ}$，
$\angle A=180^{\circ}-\angle ABC-\angle ACB=180^{\circ}-50^{\circ}-50^{\circ}=80^{\circ}$。
$\because \angle ADB=\angle AEC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BOC=\angle EOD=360^{\circ}-\angle A-\angle ADB-\angle AEC=360^{\circ}-80^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}=100^{\circ}$。

19. (10分)如图,在△ABD和△ACE中,AB= AD,AC= AE,AB⊥BC,AD⊥DE。
(1)写出与∠FED相等的角并证明；
(2)求证：F是EC的中点。

答案： （1）$\angle DBC = \angle FED$。证明：$\because AB \perp BC$，$AD \perp DE$，$\therefore \angle ABC = \angle ADE = 90^{\circ}$。在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle ADE$中，$\begin{cases} AC = AE \\ AB = AD \end{cases}$，$\therefore Rt\triangle ABC \cong Rt\triangle ADE(HL)$，$\therefore \angle BAC = \angle DAE$。$\because AB = AD$，$AC = AE$，$\therefore \angle ABD = \frac{180^{\circ} - \angle BAC}{2}$，$\angle AEC = \frac{180^{\circ} - \angle DAE}{2}$，$\therefore \angle ABD = \angle AEC$。$\because \angle ABC = \angle ADE = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ABD + \angle DBC = 90^{\circ}$，$\angle AEC + \angle FED = 90^{\circ}$，$\therefore \angle DBC = \angle FED$。
（2）证明：$\because AD \perp DE$，$\therefore \angle ADE = 90^{\circ}$，$\therefore \angle EDF + \angle ADB = 90^{\circ}$。$\because AB = AD$，$\therefore \angle ABD = \angle ADB$。$\because \angle ABD + \angle DBC = 90^{\circ}$，$\angle ADB + \angle EDF = 90^{\circ}$，$\therefore \angle DBC = \angle EDF$。由（1）知$\angle DBC = \angle FED$，$\therefore \angle EDF = \angle FED$，$\therefore FE = FD$。$\because \angle EDF + \angle CDF = 90^{\circ}$，$\angle FED + \angle FCD = 90^{\circ}$，$\therefore \angle CDF = \angle FCD$，$\therefore FC = FD$，$\therefore FE = FC$，$\therefore F$是$EC$的中点。

20. (12分)如图,在平面直角坐标系中,△AOP为等边三角形,点A(0,1),B为y轴上一动点,以BP为边作等边△PBC。
(1)当点B运动到(0,4)时,AC= 4；
(2)∠CAP的度数为60°；
(3)当点B运动时,AE的长度是否发生变化？若不变,求出AE的值；若变化,说明变化的规律。
解：当点B运动时，AE的长度不发生变化。
∵ ∠EAO = ∠BAC = 60°，∠AOE = 90°，
∴ ∠AEO = 30°，
∴ AE = 2AO。
∵ 点A(0,1)，
∴ AO = 1，
∴ AE = 2×1 = 2。
即当点B运动时，AE的长度不发生变化，AE的值为2。

答案： （1）4
（2）$60^{\circ}$
（3）解：当点B运动时，AE的长度不发生变化。
$\because \angle EAO = \angle BAC = 60^{\circ}$，$\angle AOE = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle AEO = 30^{\circ}$，
$\therefore AE = 2AO$。
$\because$ 点A(0,1)，
$\therefore AO = 1$，
$\therefore AE = 2×1 = 2$。
即当点B运动时，AE的长度不发生变化，AE的值为2。