《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

12. [2023·湖南长沙一中高二月考]已知 a=(1,0,1)，b=(x,1,2)，且 a·b = 3，则向量 a 与 b 的夹角为（ ）
A. $\frac{5\pi}{6}$
B. $\frac{2\pi}{3}$
C. $\frac{\pi}{3}$
D. $\frac{\pi}{6}$

答案： D

13. [2023·河南许昌禹州高级中学高二月考]已知 a=(cosα,-1,sinα)，b=(sinα,-1,cosα)，则向量 a + b 与 a - b 的夹角为（ ）
A. 90°
B. 60°
C. 30°
D. 0°

答案： A

14. [2023·重庆万州第二高级中学高二月考]已知点 A(1,2,1)，B(-1,3,4)，D(1,1,1)。若$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，则|$\overrightarrow{PD}$| =________.

答案： $\frac {\sqrt {77}}{3}$

15. [2023·安徽芜湖第一中学高二阶段练习]棱长为 2 的正方体中，E,F 分别是 DD₁，DB 的中点，点 G 在棱 CD 上，且 CG = $\frac{1}{3}CD$，H 是 C₁G 的中点. 建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题.
(1)求证：EF⊥B₁C.
(2)求 cos＜$\overrightarrow{EF}$,$\overrightarrow{C_{1}G}$＞.
(3)求 FH 的长.

答案：

(1)【证明】如图，以$D$为原点，$DA$，$DC$，$DD_{1}$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立空间直角坐标系， 则$E(0,0,1)$，$F(1,1,0)$，$C(0,2,0)$，$B_{1}(2,2,2)$， 所以$\overrightarrow{EF}=(1,1,-1)$， $\overrightarrow{B_{1}C}=(-2,0,-2)$. 所以$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{B_{1}C}=(1,1,-1)\cdot(-2,0,-2)=1\times(-2)+1\times0+(-1)\times(-2)=0$， 所以$\overrightarrow{EF}\perp\overrightarrow{B_{1}C}$， 故$EF\perp B_{1}C$.
(2)【解】因为$C_{1}(0,2,2)$，$G(0,\frac{4}{3},0)$， 所以$\overrightarrow{C_{1}G}=(0,-\frac{2}{3},-2)$，所以$|\overrightarrow{C_{1}G}|=\frac{2\sqrt{10}}{3}$. 由
(1)得$\overrightarrow{EF}=(1,1,-1)$，所以$|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{1 + 1+1}=\sqrt{3}$， $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{C_{1}G}=(1,1,-1)\cdot(0,-\frac{2}{3},-2)=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$， 所以$\cos\langle\overrightarrow{EF},\overrightarrow{C_{1}G}\rangle=\frac{\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{C_{1}G}}{|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{C_{1}G}|}=\frac{\frac{4}{3}}{\sqrt{3}\times\frac{2\sqrt{10}}{3}}=\frac{4}{3}\times\frac{3}{2\sqrt{30}}=\frac{2}{\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{30}}{15}$.
(3)【解】因为$H$是$C_{1}G$的中点，所以$H(0,\frac{5}{3},1)$. 由
(1)知$F(1,1,0)$，所以$\overrightarrow{FH}=(-1,\frac{2}{3},1)$， 所以$|\overrightarrow{FH}|=\sqrt{(-1)^{2}+(\frac{2}{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{\frac{22}{9}}=\frac{\sqrt{22}}{3}$. 即$FH=\frac{\sqrt{22}}{3}$.

16. [2023·辽宁大连二十四中高二阶段练习]如图，在四棱锥 P - ABCD 中，△PBC 为等腰直角三角形，且∠CPB = 90°，四边形 ABCD 为直角梯形，满足 AD//BC，CD⊥AD，BC = CD = 2AD = 4，PD = 2√6.
(1)若点 F 为 DC 的中点，求 cos＜$\overrightarrow{AP}$,$\overrightarrow{BF}$＞；
(2)若点 E 为 PB 的中点，点 M 为 AB 上一点，当$\overrightarrow{EM}\perp\overrightarrow{BF}$时，求$\frac{|\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{AB}|}$的值.

答案：
【解】
(1)因为$\triangle PBC$为等腰直角三角形，$\angle CPB = 90^{\circ}$，$BC = 4$，所以$PC = PB = 2\sqrt{2}$. 又$PD^{2}=(2\sqrt{6})^{2}=24$，$PC^{2}+CD^{2}=(2\sqrt{2})^{2}+4^{2}=24$， 所以$DC\perp PC$. 因为$CD\perp AD$，$AD\parallel BC$，所以$CD\perp BC$. 因为$PC\cap BC = C$，$PC$，$BC\subset$平面$PBC$，所以$CD\perp$平面$PBC$. 以$C$为原点，$CP$，$CD$所在直线分别为$x$轴、$z$轴，过点$C$作$PB$的平行线为$y$轴，建立空间直角坐标系，如图， 则$P(2\sqrt{2},0,0)$，$B(2\sqrt{2},2\sqrt{2},0)$，$F(0,0,2)$，$A(\sqrt{2},\sqrt{2},4)$， 所以$\overrightarrow{AP}=(\sqrt{2},-\sqrt{2},-4)$，$\overrightarrow{BF}=(-2\sqrt{2},-2\sqrt{2},2)$， 所以$\cos\langle\overrightarrow{AP},\overrightarrow{BF}\rangle=\frac{\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BF}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{BF}|}=\frac{\sqrt{2}\times(-2\sqrt{2})+(-\sqrt{2})\times(-2\sqrt{2})+(-4)\times2}{2\sqrt{5}\times2\sqrt{5}}=-\frac{2}{5}$.
(2)结合
(1)知$E(2\sqrt{2},\sqrt{2},0)$，$\overrightarrow{AB}=(\sqrt{2},\sqrt{2},-4)$. 设$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$，则$\overrightarrow{AM}=(\sqrt{2}t,\sqrt{2}t,-4t)$， 所以$M(\sqrt{2}+\sqrt{2}t,\sqrt{2}+\sqrt{2}t,4 - 4t)$， 所以$\overrightarrow{EM}=(\sqrt{2}t-\sqrt{2},\sqrt{2}t,4 - 4t)$. 由
(1)知$\overrightarrow{BF}=(-2\sqrt{2},-2\sqrt{2},2)$. 因为$\overrightarrow{EM}\perp\overrightarrow{BF}$，所以$\overrightarrow{EM}\cdot\overrightarrow{BF}=0$， 所以$-2\sqrt{2}\times(\sqrt{2}t-\sqrt{2})-2\sqrt{2}\times\sqrt{2}t+8 - 8t = 0$，解得$t=\frac{3}{4}$， 所以$\frac{|\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{3}{4}$.

17. [2023·浙江宁波余姚中学高二月考]若 a=(1,1,1)与 b=(x,2,2)的夹角为锐角，则实数 x 的取值范围是________.

答案： $(-4,2)\cup(2,+\infty)$