《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. 已知双曲线$C:y^{2}-\frac{x^{2}}{2}=1$，则该双曲线的虚轴长为（ ）
A. 1
B. 2
C. $\sqrt{2}$
D. $2\sqrt{2}$

答案： D

2. [2022·浙江北斗星盟高二联考]双曲线$\frac{y^{2}}{3}-\frac{x^{2}}{2}=\lambda$（$\lambda\neq0$），当实数$\lambda$变化时，这些双曲线（ ）
A. 有相同的焦点
B. 有相同的实轴长
C. 有相同的离心率
D. 有相同的渐近线

答案： D

3. 若等轴双曲线过点$(1,2)$，则它的焦点的坐标为________.

答案： $(0,\pm\sqrt{6})$

4. [2022·天津西青高二期末]已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$与双曲线$\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{2}=1$有相同的渐近线，且经过点$M(\sqrt{2},-\sqrt{2})$.
(1)求双曲线$C$的方程；
(2)求双曲线$C$的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.

答案：
(1)因为双曲线$\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{2}=1$的渐近线方程为$y=\pm\sqrt{2}x$，所以双曲线$C$的渐近线方程为$y=\pm\sqrt{2}x$，则$\frac{b}{a}=\sqrt{2}$，即$b = \sqrt{2}a$.
又因为双曲线$C$经过点$M(\sqrt{2},-\sqrt{2})$，所以$\frac{(\sqrt{2})^{2}}{a^{2}}-\frac{(-\sqrt{2})^{2}}{b^{2}}=1$，将$b = \sqrt{2}a$代入可得：
$\frac{2}{a^{2}}-\frac{2}{2a^{2}}=1$，即$\frac{2}{a^{2}}-\frac{1}{a^{2}}=1$，$\frac{1}{a^{2}}=1$，解得$a^{2}=1$，则$b^{2}=2a^{2}=2$.
所以双曲线$C$的方程为$x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$.
(2)由
(1)知$a = 1$，$b=\sqrt{2}$，则$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{1 + 2}=\sqrt{3}$.\n实轴长：$2a = 2\times1 = 2$.\n离心率：$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$.\n焦点坐标为$(\pm\sqrt{3},0)$，渐近线方程为$y=\pm\sqrt{2}x$，即$\sqrt{2}x\pm y = 0$.
根据点到直线的距离公式$d=\frac{\vert Ax_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$，焦点$(\sqrt{3},0)$到渐近线$\sqrt{2}x + y = 0$的距离为$d=\frac{\vert\sqrt{2}\times\sqrt{3}+0\vert}{\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+1^{2}}}=\frac{\vert\sqrt{6}\vert}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}$.

5. 已知双曲线$C:\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的实轴长为8，一条渐近线方程为$y=\frac{4}{3}x$，则双曲线的标准方程为（ ）
A. $\frac{y^{2}}{64}-\frac{x^{2}}{36}=1$
B. $\frac{y^{2}}{36}-\frac{x^{2}}{64}=1$
C. $\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1$
D. $\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{9}=1$

答案： D

6. 若双曲线$E$与椭圆$C:\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$的焦点相同且离心率是椭圆$C$的离心率的$\sqrt{3}$倍，则双曲线$E$的标准方程为（ ）
A. $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$
B. $y^{2}-2x^{2}=1$
C. $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$
D. $\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$

答案： A

7. [2022·河南信阳高二期末]若双曲线$C$的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$，$P(\sqrt{2},1)$为$C$上一点，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线的标准方程为________.

答案： $\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$

8. [2022·江西上饶六校高二期末]设$F_{1},F_{2}$分别是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点，$P$是双曲线$C$右支上一点，若$|PF_{2}|=|F_{1}F_{2}|$，点$F_{2}$到直线$PF_{1}$的距离为$2a$，则双曲线$C$的离心率为（ ）
A. $\sqrt{3}$
B. 2
C. $\frac{5}{3}$
D. $\sqrt{6}$

答案： C

9. [2022·浙江绍兴鲁迅中学高二期中]已知$F_{1},F_{2}$分别为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点，$P$为双曲线右支上任意一点，若$\frac{|PF_{1}|^{2}}{|PF_{2}|}$的最小值为$8a$，则该双曲线的离心率$e$的取值范围是（ ）
A. $(1,2)$
B. $(1,3)$
C. $(1,3]$
D. $(2,4)$

答案： C