《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. [2022·四川成都高二期中]已知点 A(-2,3,4)，则点 A 关于原点的对称点的坐标为（ ）
A. (2,3,4)
B. (-2,-3,4)
C. (-2,3,-4)
D. (2,-3,-4)

答案： D

2. [2022·山东烟台高二期中]已知空间向量 a=(1,2,-3)，则向量 a 在坐标平面 Oyz 上的投影向量是（ ）
A. (0,2,3)
B. (0,2,-3)
C. (1,2,0)
D. (1,2,-3)

答案： B

3. [2022·广东广州天河外国语学校高二期中]如图，正方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁的棱长为 6，点 M 为 CC₁的中点，点 P 为底面 A₁B₁C₁D₁上的动点，满足 BP⊥AM 的点 P 的轨迹长度为（ ）

A. 2√2π
B. 3√2
C. 6√3
D. 3√3

答案： B

4. [2023·黑龙江鸡西第四中学高二月考]已知 a=(1,0,1)，b=(-2,-1,1)，c=(3,1,0)，则 a - b + 2c =（ ）
A. (-9,-3,0)
B. (0,2,-1)
C. (9,3,0)
D. (9,0,0)

答案： C

5. [2022·江苏宿迁高二期中]已知点 O 为原点，$\overrightarrow{OA}=(1,2,3)$，$\overrightarrow{OB}=(2,1,2)$，$\overrightarrow{OP}=(1,1,2)$，点 Q 在直线 OP 上，那么当$\overrightarrow{QA}\cdot\overrightarrow{QB}$取得最小值时，点 Q 的坐标是（ ）
A. $(\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{1}{3})$
B. $(\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{1}{3})$
C. $(\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{8}{3})$
D. $(\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{7}{3})$

答案： C

6. [2023·云南昆明艺卓中学高二月考]已知点 A(2,0,1)，点 B(10,4,13)，若点 C 满足$\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{BC}$，则点 C 的坐标为________.

答案： (6,2,7)

7. (多选)[2023·山西大同浑源七中高二月考]在△ABC 中，A(1,2,-3k)，B(-2,1,0)，C(2,-3,1)。若△ABC 为直角三角形，则 k 的值为（ ）
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{8}{3}$
C. -1
D. $-\frac{25}{3}$

答案： BD

8. [2022·上海金山高二期末]已知向量 a=(2,1,3)，向量 b=(4,m,6)。若 a//b，则实数 m 的值为________.

答案： 2

9. [2023·河南郑州回民高级中学高二月考]设 x,y∈R，向量 a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,-4,2)，且 a⊥c，b//c，则|a + b| =________.

答案： 3

10. [2022·山东莱州第一中学高二月考]已知点 O 为原点，向量 a=(-2,1,1)，点 A(-3,-1,4)，B(-2,-2,2)。在直线 AB 上，存在一点 E，使得$\overrightarrow{OE}\perp a$，则点 E 的坐标为________.

答案： $(-\frac {6}{5},-\frac {14}{5},\frac {2}{5})$

11. [2023·广东佛山超盈实验中学高二月考]如图，在直三棱柱 ABC - A₁B₁C₁中，CA = CB = 1，∠BCA = 90°，棱 AA₁ = 2，M,N 分别为 A₁B₁，A₁A 的中点. 建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题.
(1)求$\overrightarrow{BN}$的模.
(2)求证：BN⊥平面 C₁MN.

答案：
 思维路径：
(1)以点$C$为原点，$CA$，$CB$，$CC_{1}$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴建立空间直角坐标系$\longrightarrow$利用空间向量的模长公式可求得结果.
(2)利用空间向量法可证得$BN\perp C_{1}M$，$BN\perp C_{1}N\longrightarrow$利用线面垂直的判定定理可证得结论.
(1)【解】因为$CC_{1}\perp$平面$ABC$，$\angle BCA = 90^{\circ}$，所以易得$CA$，$CB$，$CC_{1}$两两垂直. 以点$C$为原点，$CA$，$CB$，$CC_{1}$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则$B(0,1,0)$，$N(1,0,1)$， 所以$\overrightarrow{BN}=(1,-1,1)$，所以$|\overrightarrow{BN}|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$.
(2)【证明】由
(1)可得$C_{1}(0,0,2)$，$B(0,1,0)$，$N(1,0,1)$，$M(\frac{1}{2},\frac{1}{2},2)$， 则$\overrightarrow{C_{1}M}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$，$\overrightarrow{C_{1}N}=(1,0,-1)$，$\overrightarrow{BN}=(1,-1,1)$， 所以$\overrightarrow{C_{1}M}\cdot\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\times1+\frac{1}{2}\times(-1)+0\times1 = 0$， $\overrightarrow{C_{1}N}\cdot\overrightarrow{BN}=1\times1+0\times(-1)+(-1)\times1 = 0$， 所以$\overrightarrow{C_{1}M}\perp\overrightarrow{BN}$，$\overrightarrow{C_{1}N}\perp\overrightarrow{BN}$，即$BN\perp C_{1}M$，$BN\perp C_{1}N$. 又因为$C_{1}M\cap C_{1}N = C_{1}$，$C_{1}M$，$C_{1}N\subset$平面$C_{1}MN$， 所以$BN\perp$平面$C_{1}MN$.