《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

1.（多选）[2023·湖北十堰六校协作体高二月考]如图，在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，E为棱$CC_{1}$上不与$C_{1},C$重合的任意一点，则能作为直线$AA_{1}$的方向向量的是（ ）

A.$\overrightarrow{AA_{1}}$
B.$\overrightarrow{C_{1}E}$
C.$\overrightarrow{AB}$
D.$\overrightarrow{A_{1}A}$

答案： AD

2.[2022·安徽合肥第十一中学高二期末]已知直线l过点$A(3,2,1),B(2,2,2)$，且$\boldsymbol{a}=(2,0,x)$是直线l的一个方向向量，则$x=$_______.

答案： -2

3.[2022·黑龙江哈九中高二开学考试]已知$A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)$，则平面ABC的一个单位法向量是（ ）
A.$(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3})$
B.$(\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})$
C.$(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})$
D.$(-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3})$

答案： CD

4.[2022·广东深圳宝安中学高二期中]已知平面$\alpha$内有一点$A(2,-1,2)$，平面$\alpha$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(\frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{1}{3})$，则下列四个点在平面$\alpha$内的是（ ）
A.$P_{1}(1,-1,1)$
B.$P_{2}(1,3,\frac{3}{2})$
C.$P_{3}(1,-3,\frac{3}{2})$
D.$P_{4}(-1,3,-\frac{3}{2})$

答案： B

5.[2022·河北沧州高二期末]已知向量$\boldsymbol{m}=(2,1,0)$与$\boldsymbol{n}=(a^{2},a,b)$是平面$\alpha$的两个法向量，则$a + b=$_______.

答案： 0或$\frac{1}{2}$

6.[2022·北京一六一中高二月考]在空间直角坐标系中，点$P(0,0,1)$为平面ABC外一点，其中$A(1,1,0),B(0,2,3)$. 若平面ABC的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(1,m,1)$，则$m=$_______.

答案： -2

7.[2022·广东江门高二期末]如图，在棱长为3的正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，点M在棱$C_{1}C$上，且$CM = 2MC_{1}$. 以D为原点，$DA,DC,DD_{1}$所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）求平面$ABB_{1}A_{1}$的一个法向量；
（2）求平面$MBD_{1}$的一个法向量.

答案： （1）$(0,1,0)$；（2）$(1, - 1, - 2)$

8.[2023·江西赣州第三中学高二开学考试]设直线$l_{1},l_{2}$的方向向量分别为$\boldsymbol{a}=(2,m,-4),\boldsymbol{b}=(-1,4,2)$. 若$l_{1}// l_{2}$，则实数$m=$_______.

答案： -8

9.[2022·湖北十堰丹江口二中高二月考]已知平面$\alpha$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(2,-1,0)$，直线l的一个方向向量为$\boldsymbol{m}=(t,-4,t + 1)$，且$l//$平面$\alpha$，则$t=$_______.

答案： -2