《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

12. [2023·湖南长沙高二期中]若圆$C:x^{2}+y^{2}-2(m - 1)x + 2(m - 1)y + 2m^{2}-6m + 4 = 0$过原点，则实数$m$的值为（ ）
A. 2或1
B. -2或-1
C. 2
D. 1

答案： C

13. 已知在$Rt\triangle ABC$中，$A(1,0)$，$B(-1,0)$，则直角顶点$C$的轨迹方程是________.

答案： $x^{2}+y^{2}=1(x\neq\pm1)$

14. 方程$x^{2}+y^{2}+4mx - 2y + 5m = 0$表示圆的充要条件是（ ）
A. $\frac{1}{4}＜m＜1$
B. $m＞1$
C. $m＜\frac{1}{4}$
D. $m＜\frac{1}{4}$或$m＞1$

答案： D

15. 当$a\neq0$时，圆$x^{2}+y^{2}+ax - ay = 0$（ ）
A. 关于$x$轴对称
B. 关于$y$轴对称
C. 关于直线$x - y = 0$对称
D. 关于直线$x + y = 0$对称

答案： D

16. 已知圆$C:x^{2}+y^{2}+mx - 4 = 0$上存在两点关于直线$x - y + 3 = 0$对称，则实数$m$的值为（ ）
A. 8
B. -4
C. 6
D. 无法确定

答案： C

17. 已知圆$C:(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=1$过点$A(1,0)$，则圆$C$的圆心的轨迹是（ ）
A. 点
B. 直线
C. 线段
D. 圆

答案： D

18. （多选）已知圆$x^{2}+y^{2}+2x - 4y + 1 = 0$关于直线$2ax - by + 2 = 0(a,b\in R)$对称，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆$x^{2}+y^{2}+2x - 4y + 1 = 0$的圆心坐标是(-1,2)
B. 圆$x^{2}+y^{2}+2x - 4y + 1 = 0$的半径是2
C. $a + b = 1$
D. $ab$的取值范围是$(-\infty,\frac{1}{4}]$

答案： ABCD

19. 圆$C:x^{2}+y^{2}-8x + 2y - 8 = 0$关于点(2,-1)对称的圆的方程为________.

答案： $x^{2}+y^{2}=9$

20. 点$M(0,1)$与圆$x^{2}+y^{2}-2x = 0$上的动点$P$之间的最近距离为________.

答案： $\sqrt{2}-1$

21. 已知$A(2,2)$，$B(5,3)$，$C(3,-1)$，$M(6,0)$，判断点$A$，$B$，$C$，$M$是否共圆.

答案： 设过$A$，$B$，$C$三点的圆的方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$，将$A$，$B$，$C$三点的坐标代入可得$\begin{cases}2D + 2E+F + 8 = 0\\5D + 3E+F + 34 = 0\\3D - E+F + 10 = 0\end{cases}$，解方程组得$\begin{cases}D=-8\\E=-2\\F = 12\end{cases}$，所以圆的方程为$x^{2}+y^{2}-8x - 2y + 12 = 0$。把点$M(6,0)$的坐标代入圆的方程得$6^{2}+0^{2}-8\times6 - 2\times0 + 12 = 0$，所以点$M$在过$A$，$B$，$C$三点的圆上，即点$A$，$B$，$C$，$M$共圆。

22. 点$A(2,0)$是圆$x^{2}+y^{2}=4$上的点，点$B(1,1)$是圆内一点，$P$，$Q$为圆上的动点.
(1)求线段$AP$的中点$M$的轨迹方程；
(2)若$\angle PBQ = 90^{\circ}$，求线段$PQ$的中点$N$的轨迹方程.

答案：
(1)设线段$AP$的中点为$M(x,y)$，$P(x_1,y_1)$，因为$A(2,0)$，所以$\begin{cases}x=\dfrac{x_1 + 2}{2}\\y=\dfrac{y_1+0}{2}\end{cases}$，即$\begin{cases}x_1 = 2x - 2\\y_1 = 2y\end{cases}$。又因为点$P$在圆$x^{2}+y^{2}=4$上，所以$(2x - 2)^{2}+(2y)^{2}=4$，化简得$(x - 1)^{2}+y^{2}=1$，所以线段$AP$的中点$M$的轨迹方程为$(x - 1)^{2}+y^{2}=1$。
(2)设线段$PQ$的中点为$N(x,y)$，在$Rt\triangle PBQ$中，$|PN| = |BN|$。设$O$为坐标原点，连接$ON$，则$ON\perp PQ$，所以$|OP|^{2}=|ON|^{2}+|PN|^{2}=|ON|^{2}+|BN|^{2}$。因为$|OP| = 2$，所以$x^{2}+y^{2}+(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=4$，化简得$x^{2}+y^{2}-x - y - 1 = 0$，所以线段$PQ$的中点$N$的轨迹方程为$x^{2}+y^{2}-x - y - 1 = 0$。