《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

8. [2022·安徽六安外国语高级中学高二期末]已知双曲线的两个焦点$F_1(-\sqrt{5},0),F_2(\sqrt{5},0)$，$P$是双曲线上一点，且$PF_1\perp PF_2$，$|PF_1|\cdot|PF_2| = 2$，则双曲线的标准方程是（ ）
A. $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$
B. $\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1$
C. $x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$
D. $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$

答案： C

9. [2023·黑龙江佳木斯一中高二月考]设$F_1,F_2$分别是双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{24}=1$的两个焦点，$P$是双曲线上的一点，且$3|PF_1| = 4|PF_2|$，则$\triangle PF_1F_2$的面积等于（ ）
A. $4\sqrt{2}$
B. $8\sqrt{3}$
C. 24
D. 48

答案： C

10. 若$P$是双曲线$M:\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$右支上的一点，$F_1,F_2$分别是左、右焦点，$|PF_2| = 4$，则$\triangle PF_1F_2$的内切圆半径为（ ）
A. $\frac{4\sqrt{15}}{9}$
B. $\frac{2\sqrt{15}}{3}$
C. $\frac{2\sqrt{15}}{9}$
D. $\frac{\sqrt{15}}{3}$

答案： D

11. [2022·四川江油一中高二期中]$\sqrt{x^{2}+(y - 3)^{2}}-\sqrt{x^{2}+(y + 3)^{2}} = 4$表示的曲线的方程为（ ）
A. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1(x\leq - 2)$
B. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1(x\geq 2)$
C. $\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{5}=1(y\leq - 2)$
D. $\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{5}=1(y\geq 2)$

答案： C

12. [2022·河南驻马店新蔡一中高二月考]在$\triangle ABC$中，$A(-5,0),B(5,0)$，点$C$在双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$上，则$\frac{\sin C}{\sin A - \sin B}=$（ ）
A. $\frac{5}{3}$
B. $\pm\frac{5}{3}$
C. $\pm\frac{5}{4}$
D. $-\frac{5}{4}$

答案： C

13.（多选）[2022·广东梅州高二期末]若$\alpha\in(0,\pi)$，方程$x^{2}+y^{2}\cos\alpha = 1$表示的曲线可以是（ ）
A. 直线
B. 圆
C. 椭圆
D. 双曲线

答案： BCD

14. [2022·河南信阳高二期末]设$P$为双曲线$C:\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$右支上一点，$F_1,F_2$分别为左、右焦点，$|PF_1| = 4|PF_2|$，则（ ）
A. $P,F_1,F_2$为一个锐角三角形的顶点
B. $P,F_1,F_2$为一个钝角三角形的顶点
C. $P,F_1,F_2$为一个直角三角形的顶点
D. $P,F_1,F_2$不为三角形的顶点

答案： B

15. 若双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的两个焦点分别为$F_1,F_2$，点$P$在双曲线上，直线$PF_1,PF_2$的倾斜角之差为$\frac{\pi}{3}$，则$\triangle PF_1F_2$的面积为（ ）
A. $16\sqrt{3}$
B. $32\sqrt{3}$
C. 32
D. 42

答案： A

16. [2022·江西景德一中高二期末]已知$A(0,7),B(0,-7),C(12,2)$，以$C$为一个焦点作过$A,B$的椭圆，则椭圆的另一个焦点$F$的轨迹方程为（ ）
A. $y^{2}-\frac{x^{2}}{48}=1(y\leq - 1)$
B. $y^{2}-\frac{x^{2}}{48}=1$
C. $x^{2}-\frac{y^{2}}{48}=1(x\leq - 1)$
D. $x^{2}-\frac{y^{2}}{48}=1$

答案： A