《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

18. (本小题满分12分) [2023·广东揭阳普宁第二中学高二月考]如图，已知三棱锥$O - ABC$的侧棱$OA$，$OB$，$OC$两两垂直，且$OC = 2$，$OA = OB = 1$，$E$是$OC$的中点.
(1)求异面直线$EB$与$AC$所成角的余弦值；
(2)求点$E$到平面$ABC$的距离.

答案：
(1)以$O$为原点，分别以$OA$，$OB$，$OC$所在直线为$x$，$y$，$z$轴建立空间直角坐标系.
则$O(0,0,0)$，$A(1,0,0)$，$B(0,1,0)$，$C(0,0,2)$，$E(0,0,1)$.
所以$\overrightarrow{EB}=(0,1, - 1)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,0,2)$.
设异面直线$EB$与$AC$所成角为$\theta$，则$\cos\theta=\vert\frac{\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{EB}\vert\vert\overrightarrow{AC}\vert}\vert=\vert\frac{0\times(-1)+1\times0+( - 1)\times2}{\sqrt{0^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}\times\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}+2^{2}}}\vert=\frac{2}{\sqrt{2}\times\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$.
(2)设平面$ABC$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，$\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,0,2)$.
由$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}-x + y = 0\\-x + 2z = 0\end{cases}$，令$x = 2$，则$y = 2$，$z = 1$，所以$\boldsymbol{n}=(2,2,1)$.
又$\overrightarrow{AE}=(-1,0,1)$，所以点$E$到平面$ABC$的距离$d=\frac{\vert\overrightarrow{AE}\cdot\boldsymbol{n}\vert}{\vert\boldsymbol{n}\vert}=\frac{\vert-1\times2 + 0\times2+1\times1\vert}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{3}$.

19. (本小题满分12分) [2023·黑龙江齐齐哈尔实验中学高二月考]如图，在四棱锥$P - ABCD$中，底面$ABCD$是平行四边形，$\triangle PCD$是边长为2的等边三角形，平面$PCD\perp$平面$ABCD$，$AC = PC$，$AC\perp PC$，$S$为$CD$的中点.
(1)求证：$AC\perp CD$.
(2)若$M$是$PB$的中点，求直线$MD$与平面$ACP$所成角的正弦值.

答案：
(1)因为平面$PCD\perp$平面$ABCD$，平面$PCD\cap$平面$ABCD = CD$，$AC\subset$平面$ABCD$，$AC\perp PC$，$PC\subset$平面$PCD$，根据面面垂直的性质定理，可得$AC\perp$平面$PCD$，又$CD\subset$平面$PCD$，所以$AC\perp CD$.
(2)以$C$为原点，分别以$CA$，$CD$，$CP$所在直线为$x$，$y$，$z$轴建立空间直角坐标系.
则$C(0,0,0)$，$A(2,0,0)$，$D(0,2,0)$，$P(0,0,2)$，$B(2,2,0)$，因为$M$是$PB$的中点，所以$M(1,1,1)$.
$\overrightarrow{MD}=(-1,1, - 1)$，平面$ACP$的一个法向量为$\overrightarrow{CD}=(0,2,0)$.
设直线$MD$与平面$ACP$所成角为$\theta$，则$\sin\theta=\vert\frac{\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{CD}}{\vert\overrightarrow{MD}\vert\vert\overrightarrow{CD}\vert}\vert=\vert\frac{-1\times0 + 1\times2+( - 1)\times0}{\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}\times\sqrt{0^{2}+2^{2}+0^{2}}}\vert=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

20. (本小题满分12分) [2022·贵州遵义四中高二期末]如图，在四棱锥$P - ABCD$中，$PD = 2AD = 4$，$PD\perp CD$，$PD\perp AD$，底面$ABCD$为正方形，$M$，$N$，$Q$分别为$AD$，$PD$，$BC$的中点.
(1)证明：平面$PAQ//$平面$MNC$.
(2)求二面角$M - NC - D$的余弦值.

答案：
(1)以$D$为原点，分别以$DA$，$DC$，$DP$所在直线为$x$，$y$，$z$轴建立空间直角坐标系.
则$D(0,0,0)$，$A(2,0,0)$，$B(2,2,0)$，$C(0,2,0)$，$P(0,0,4)$，$M(1,0,0)$，$N(0,0,2)$，$Q(2,2,0)$.
$\overrightarrow{PA}=(2,0, - 4)$，$\overrightarrow{PQ}=(2,2, - 4)$，$\overrightarrow{MN}=(-1,0,2)$，$\overrightarrow{MC}=(-1,2,0)$.
设平面$PAQ$的法向量为$\boldsymbol{n}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$，则$\begin{cases}\boldsymbol{n}_{1}\cdot\overrightarrow{PA}=2x_{1}-4z_{1}=0\\\boldsymbol{n}_{1}\cdot\overrightarrow{PQ}=2x_{1}+2y_{1}-4z_{1}=0\end{cases}$，令$z_{1}=1$，则$x_{1}=2$，$y_{1}=0$，所以$\boldsymbol{n}_{1}=(2,0,1)$.
设平面$MNC$的法向量为$\boldsymbol{n}_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$，则$\begin{cases}\boldsymbol{n}_{2}\cdot\overrightarrow{MN}=-x_{2}+2z_{2}=0\\\boldsymbol{n}_{2}\cdot\overrightarrow{MC}=-x_{2}+2y_{2}=0\end{cases}$，令$z_{2}=1$，则$x_{2}=2$，$y_{2}=1$，所以$\boldsymbol{n}_{2}=(2,1,1)$.
因为$\boldsymbol{n}_{1}\cdot\boldsymbol{n}_{2}=2\times2 + 0\times1+1\times1 = 5\neq0$，但$\overrightarrow{MN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{MC}$与$\overrightarrow{PQ}$不平行，且$MN// PA$，$MC$与$PQ$相交，$MN\subset$平面$MNC$，$PA\subset$平面$PAQ$，$MC\subset$平面$MNC$，$PQ\subset$平面$PAQ$，所以平面$PAQ//$平面$MNC$.
(2)平面$NCD$的一个法向量为$\boldsymbol{n}_{3}=(0,0,1)$.
设平面$MNC$的法向量为$\boldsymbol{n}_{2}=(2,1,1)$（已求）.
设二面角$M - NC - D$为$\alpha$，由图可知$\alpha$为锐角，则$\cos\alpha=\vert\frac{\boldsymbol{n}_{2}\cdot\boldsymbol{n}_{3}}{\vert\boldsymbol{n}_{2}\vert\vert\boldsymbol{n}_{3}\vert}\vert=\vert\frac{2\times0 + 1\times0+1\times1}{\sqrt{2^{2}+1^{2}+1^{2}}\times\sqrt{0^{2}+0^{2}+1^{2}}}\vert=\frac{\sqrt{6}}{6}$.