《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

9. 如图，在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$E$在$A_{1}D_{1}$上，且$\overrightarrow{A_{1}E}=2\overrightarrow{ED_{1}}$，$F$在对角线$A_{1}C$上，且$\overrightarrow{A_{1}F}=\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{FC}$. 设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{c}$.
(1)用$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$表示$\overrightarrow{EF}$.
(2)求证：$E,F,B$三点共线.

答案：
(1) $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}F}$
因为$\overrightarrow{A_{1}E}=2\overrightarrow{ED_{1}}$，所以$\overrightarrow{EA_{1}}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{A_{1}D_{1}}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=-\frac{2}{3}\boldsymbol{b}$
又因为$\overrightarrow{A_{1}F}=\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{FC}$，则$\overrightarrow{A_{1}F}=\frac{2}{5}\overrightarrow{A_{1}C}$，而$\overrightarrow{A_{1}C}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$
所以$\overrightarrow{A_{1}F}=\frac{2}{5}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})$
$\overrightarrow{EF}=-\frac{2}{3}\boldsymbol{b}+\frac{2}{5}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})=\frac{2}{5}\boldsymbol{a}-\frac{4}{15}\boldsymbol{b}-\frac{2}{5}\boldsymbol{c}$
(2) $\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}B_{1}}+\overrightarrow{B_{1}B}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{a}-\frac{2}{3}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$
设$\overrightarrow{EF}=\lambda\overrightarrow{EB}$，即$\frac{2}{5}\boldsymbol{a}-\frac{4}{15}\boldsymbol{b}-\frac{2}{5}\boldsymbol{c}=\lambda(\boldsymbol{a}-\frac{2}{3}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})$
可得$\lambda=\frac{2}{5}$，所以$\overrightarrow{EF}=\frac{2}{5}\overrightarrow{EB}$，所以$E,F,B$三点共线

10. (多选)[2022·江苏泰州中学高二期中]下列四个命题，其中为真命题的是（ ）
A. 若$\boldsymbol{p}$与$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$共面，则存在实数$x,y$，使得$\boldsymbol{p}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}$
B. 若存在实数$x,y$，使得$\boldsymbol{p}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}$，则$\boldsymbol{p}$与$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$共面
C. 若存在实数$x,y$，使得$\overrightarrow{MP}=x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}$，则点$P,M,A,B$共面
D. 若点$P,M,A,B$共面，则存在实数$x,y$，使得$\overrightarrow{MP}=x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}$

答案： BC

11. [2023·上海曹杨二中高二阶段练习] 如图，在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$M,N$分别是棱$BB_{1},DD_{1}$的中点，$P$是棱$A_{1}B_{1}$上靠近$A_{1}$的四等分点，过$M,N,P$三点的平面$\alpha$交棱$BC$于点$Q$，设$\overrightarrow{BQ}=\lambda\overrightarrow{BC}$，则$\lambda=$________.

答案： $\frac{1}{4}$

12. 如图，在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$M,N,P,Q$分别为$A_{1}D_{1},D_{1}C_{1},AA_{1},CC_{1}$的中点，用共面向量定理证明$M,N,P,Q$四点共面.

答案： 设$\overrightarrow{DA}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{DC}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{DD_{1}}=\boldsymbol{c}$
则$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD_{1}}+\overrightarrow{D_{1}N}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A_{1}D_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{D_{1}C_{1}}=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$
$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}P}=\frac{1}{2}\overrightarrow{D_{1}A_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A_{1}A}=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$
$\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{MD_{1}}+\overrightarrow{D_{1}D}+\overrightarrow{DQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A_{1}D_{1}}-\overrightarrow{DD_{1}}+\overrightarrow{DQ}= \frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}+\overrightarrow{DQ}$
设$\overrightarrow{MQ}=x\overrightarrow{MN}+y\overrightarrow{MP}$
即$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}+\overrightarrow{DQ}=x(\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b})+y(-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c})$
$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}+\overrightarrow{DQ}=(\frac{x - y}{2})\boldsymbol{a}+\frac{x}{2}\boldsymbol{b}+\frac{y}{2}\boldsymbol{c}$
可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{x - y}{2}=\frac{1}{2}\\\frac{x}{2}=0\\\frac{y}{2}=- 1\end{array}\right.$，解得$x = 0,y=-2$
所以$\overrightarrow{MQ}=0\times\overrightarrow{MN}-2\times\overrightarrow{MP}$，根据共面向量定理可知$M,N,P,Q$四点共面

13. [2023·福建福州文博中学高二月考]下列命题正确的是（ ）
A. 若$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线，$\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{c}$共线，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{c}$共线
B. 向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$共面就是它们所在的直线共面
C. 零向量没有确定的方向
D. 若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则存在唯一的实数$\lambda$，使得$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}$

答案： C

14. 如图，已知正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的中心为$O$，则有下列结论：
①$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}$与$\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OD_{1}}$是一对相反向量；
②$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC_{1}}$与$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB_{1}}$是一对相反向量；
③$\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OB_{1}}+\overrightarrow{OC_{1}}+\overrightarrow{OD_{1}}$与$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}$是一对相反向量；
④$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC_{1}}-\overrightarrow{OA_{1}}$是一对相反向量.
其中正确结论的个数为（ ）

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B