《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

12. (多选)若直线$ax + by + c = 0$同时经过第一、二、四象限，则$a,b,c$应满足（ ）
A. $ab＞0$
B. $bc＜0$
C. $ab＜0$
D. $bc＞0$

答案： AB

13. 已知直线$a_{1}x + b_{1}y + 1 = 0$和直线$a_{2}x + b_{2}y + 1 = 0$都过点$A(2,1)$，则过点$P_{1}(a_{1},b_{1})$和点$P_{2}(a_{2},b_{2})$的直线方程是（ ）
A. $2x + y + 1 = 0$
B. $2x - y + 1 = 0$
C. $2x + y - 1 = 0$
D. $x + 2y + 1 = 0$

答案： A

14. 已知直线$l:5ax - 5y - a + 3 = 0$.
(1)求证：不论$a$为何值，直线$l$总经过第一象限.
(2)为使直线$l$不经过第二象限，求$a$的取值范围.

答案：
(1)证明：将直线$l$的方程变形为$y-\frac{3}{5}=a(x - \frac{1}{5})$，所以直线$l$恒过定点$(\frac{1}{5},\frac{3}{5})$，而点$(\frac{1}{5},\frac{3}{5})$在第一象限，所以不论$a$为何值，直线$l$总经过第一象限.
(2)直线$l$的方程可化为$y = ax+\frac{3 - a}{5}$，因为直线$l$不经过第二象限，则$\begin{cases}a\geqslant0\\\frac{3 - a}{5}\leqslant0\end{cases}$，解得$a\geqslant3$，所以$a$的取值范围是$[3,+\infty)$.

15. 已知直线$l_{1},l_{2}$均过点$P(1,2)$.
(1)若直线$l_{1}$过点$A(-1,3)$，且$l_{1}\perp l_{2}$，求直线$l_{2}$的方程；
(2)如图，$O$为原点，若直线$l_{1}$的斜率为$k$，其中$0＜k\leqslant2$，且与$y$轴交于点$N$，与$x$轴交于点$T$，直线$l_{2}$过点$Q(0,\frac{2}{k^{2}} + 2)$，且与$x$轴交于点$M$，求直线$l_{1},l_{2}$与两坐标轴围成的四边形$PNOM$面积的最小值.

答案：
(1)直线$l_{1}$的斜率$k_{1}=\frac{3 - 2}{-1 - 1}=-\frac{1}{2}$，因为$l_{1}\perp l_{2}$，所以直线$l_{2}$的斜率$k_{2}=2$，又直线$l_{2}$过点$P(1,2)$，所以直线$l_{2}$的方程为$y - 2 = 2(x - 1)$，即$2x - y = 0$.
(2)直线$l_{1}$的方程为$y - 2 = k(x - 1)$，令$x = 0$，得$y = 2 - k$，所以$N(0,2 - k)$；令$y = 0$，得$x = 1-\frac{2}{k}$，所以$T(1-\frac{2}{k},0)$.
直线$l_{2}$的斜率$k_{l_{2}}=\frac{2-( \frac{2}{k^{2}} + 2)}{1-0}=-\frac{2}{k^{2}}$，则直线$l_{2}$的方程为$y - 2 = -\frac{2}{k^{2}}(x - 1)$，令$y = 0$，得$x = k^{2}+1$，所以$M(k^{2}+1,0)$.
所以四边形$PNOM$的面积$S = S_{\triangle OPM}-S_{\triangle ONT}=\frac{1}{2}(k^{2}+1)\times2-\frac{1}{2}(1 - \frac{2}{k})(2 - k)=k^{2}+\frac{2}{k}$.
令$f(k)=k^{2}+\frac{2}{k}(0＜k\leqslant2)$，则$f^\prime(k)=2k-\frac{2}{k^{2}}=\frac{2(k^{3}-1)}{k^{2}}$，令$f^\prime(k)=0$，得$k = 1$.
当$0＜k＜1$时，$f^\prime(k)＜0$，$f(k)$单调递减；当$1＜k\leqslant2$时，$f^\prime(k)＞0$，$f(k)$单调递增.
所以$f(k)_{\min}=f(1)=1^{2}+\frac{2}{1}=3$，即四边形$PNOM$面积的最小值为$3$.