《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

12. 已知圆$C_1:x^{2}+y^{2}-2mx + 4y + m^{2}-5 = 0$和圆$C_2:x^{2}+y^{2}+2x = 0$. 是否存在实数$m$,使圆$C_1$和圆$C_2$内含?

答案： 不存在

13. [2022·山东菏泽高二期中]圆$x^{2}+y^{2}-4 = 0$与圆$x^{2}+y^{2}-4x + 4y - 12 = 0$的公共弦所在直线的方程为（ ）
A. $x - 2y - 1 = 0$
B. $x - y + 2 = 0$
C. $x - y - 2 = 0$
D. $x - 2y + 1 = 0$

答案： B

14. (原创)已知圆$C:(x - 1)^{2}+(y - 2)^{2}=5$,圆$C'$是以圆$x^{2}+y^{2}=1$上任意一点为圆心,1 为半径的圆. 圆$C$与圆$C'$交于$A,B$两点,则$\sin\angle ACB$的最大值为（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{3}{4}$
D. $\frac{4}{5}$

答案： D

15. [2022·辽宁沈阳 120 中学高二期中]已知圆$C_1:(x - 1)^{2}+(y - 2)^{2}=4$和圆$C_2:(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=2$交于$A,B$两点,直线$l$与直线$AB$平行,且与圆$C_2$相切,与圆$C_1$交于点$M,N$,则$|MN|=$________.

答案： 4

16. 已知圆$C_1:x^{2}+y^{2}+2x - 6y + 1 = 0$,圆$C_2:x^{2}+y^{2}-4x + 2y - 11 = 0$,则两圆的公共弦长为________.

答案： $\frac {24}{5}$

17. 已知圆$C_1:x^{2}+y^{2}+6x - 4 = 0$和圆$C_2:x^{2}+y^{2}+6y - 28 = 0$,求经过两圆交点且圆心在直线$x - y - 4 = 0$上的圆的方程.

答案： $x^{2}+y^{2}-x+7y-32=0$

18. [2022·河北唐山一中高二月考]如图,在圆$O$上任取点$C$为圆心,作一圆$C$与圆$O$的直径$AB$相切于点$D$,圆$C$与圆$O$交于点$E,F$,且$EF$与$CD$相交于点$H$. 求证:$EF$平分$CD$.

答案：

【证明】如图，以$O$为原点，$AB$所在直线为$x$轴，建立平面直角坐标系。 设$|AB|=2r$，$D(a,0)$，则$|CD|=\sqrt{r^{2}-a^{2}}$， $\therefore C(a,\sqrt{r^{2}-a^{2}})$。 $\therefore$圆$O:x^{2}+y^{2}=r^{2}$，圆$C:(x - a)^{2}+(y-\sqrt{r^{2}-a^{2}})^{2}=r^{2}-a^{2}$。 两方程作差得直线$EF$的方程为$2ax + 2\sqrt{r^{2}-a^{2}}y=r^{2}+a^{2}$。 令$x = a$，得$y=\frac{1}{2}\sqrt{r^{2}-a^{2}}$， $\therefore H(a,\frac{1}{2}\sqrt{r^{2}-a^{2}})$，即$H$为$CD$的中点。 $\therefore EF$平分$CD$。

19. [2022·山西太原外国语学校高二期中]拟在某小区北侧围栏外的草坪上修建健身步道,设计思路为相交的两圆,设计方案如图所示,点$A,C$为小区出入口,且均在圆$E$上,点$B$正北方向 20 m 处为圆心$E$,点$D$正北方向 60 m 处为圆心$F$,$|AB|=|BC|=|CD|=15$ m,且$CG$为两圆的公共弦,求公共弦$CG$的长.

答案： 【解】以$AC$所在直线为$x$轴，点$B$为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则$A(-15,0)$，$B(0,0)$，$C(15,0)$，$D(30,0)$，$E(0,20)$，$F(30,60)$， 所以$|EA|=\sqrt{15^{2}+20^{2}}=25(m)$， $|FC|=\sqrt{15^{2}+60^{2}}=15\sqrt{17}(m)$， 则圆$E$的方程为$x^{2}+(y - 20)^{2}=625$， 圆$F$的方程为$(x - 30)^{2}+(y - 60)^{2}=3825$。 两式相减可得公共弦$CG$所在直线方程为$3x + 4y - 45 = 0$， 则圆心$E$到直线$CG$的距离$d=\frac{|3\times0 + 4\times20 - 45|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=7(m)$， 所以$|CG|=2\sqrt{|GE|^{2}-d^{2}}=2\sqrt{25^{2}-7^{2}}=48(m)$ 

20. 已知圆$A$、$B$内切,圆心距为 1 cm,其中圆$A$的半径为 6 cm,则圆$B$的半径为________.

答案： 5cm或7cm