《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

11.（多选）一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C：$(x - 2)^2+(y - 3)^2 = 1$上，则当光线的路程最短时，下列说法正确的是（ ）
A. 点A(-1,1)关于x轴的对称点A'的坐标为(-1,-1)
B. 反射光线所在的直线方程是4x - 3y + 1 = 0
C. 光线的最短路程为4
D. 反射点的坐标为$(-\frac{1}{4},0)$

答案： ACD

12. [2023·河北张家口高二期中]已知圆C：$(x - 1)^2+(y - b)^2 = r^2(r＞0)$，若圆C与y轴交于M，N两点，且$\frac{|MN|}{|MC|}=\sqrt{3}$，则r = _______.

答案： 2

13. [2023·湖南衡阳一中高二期中]已知A，B是曲线$|x|-1=\sqrt{4-(y - 1)^2}$上两个不同的点，C(0,1)，则|CA|+|CB|的最大值与最小值的比值是_______.

答案： $\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = 3 + 2\sqrt{2}$

14. [2023·山东济南高二期中]已知$\triangle ABC$的三个顶点A(4,0)，B(8,10)，C(0,a)，边AC的中线所在直线方程为4x - 3y - 2 = 0.
(1)求实数a；
(2)试判断点C与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.

答案：
(1)设$AC$中点为$D$，已知$A(4,0)$，$C(0,a)$，根据中点坐标公式可得$D$点坐标为$(\frac{4 + 0}{2},\frac{0 + a}{2})$，即$D(2,\frac{a}{2})$。
因为点$D$在直线$4x - 3y - 2 = 0$上，所以将$D(2,\frac{a}{2})$代入直线方程可得：
$4\times2 - 3\times\frac{a}{2} - 2 = 0$
$8 - \frac{3a}{2} - 2 = 0$
$6 - \frac{3a}{2} = 0$
$\frac{3a}{2} = 6$
解得$a = 4$。
(2)由
(1)可知$C(0,4)$，已知$A(4,0)$，$B(8,10)$，则以线段$AB$为直径的圆的圆心坐标为$(\frac{4 + 8}{2},\frac{0 + 10}{2})$，即$(6,5)$。
半径$r = \frac{1}{2}\sqrt{(8 - 4)^2 + (10 - 0)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{16 + 100} = \frac{1}{2}\sqrt{116} = \sqrt{29}$。
点$C(0,4)$到圆心$(6,5)$的距离$d = \sqrt{(0 - 6)^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}$。
因为$\sqrt{37} \gt \sqrt{29}$，即$d \gt r$，所以点$C$在以线段$AB$为直径的圆外。

15. [2023·湖北华中科技大学附属中学高二期中]已知圆心为C的圆经过点A(-1,1)和B(-2,-2)，且圆心C在直线l：x + y - 1 = 0上.
(1)求此圆的标准方程；
(2)设点P(x,y)是圆C上的动点，求$x^2+y^2-8y + 16$的最小值，以及取最小值时对应的点P的坐标.

答案：
(1)设圆$C$的标准方程为$(x - a)^2+(y - b)^2 = r^2$。
因为圆$C$经过点$A(-1,1)$和$B(-2,-2)$，且圆心$C(a,b)$在直线$x + y - 1 = 0$上，所以可得方程组$\begin{cases}(-1 - a)^2+(1 - b)^2 = r^2\\(-2 - a)^2+(-2 - b)^2 = r^2\\a + b - 1 = 0\end{cases}$。
由$a + b - 1 = 0$可得$b = 1 - a$，将其代入$(-1 - a)^2+(1 - b)^2 = r^2$和$(-2 - a)^2+(-2 - b)^2 = r^2$中：
$(-1 - a)^2+(1-(1 - a))^2 = r^2$，即$(-1 - a)^2+a^2 = r^2$ ①；
$(-2 - a)^2+(-2-(1 - a))^2 = r^2$，即$(-2 - a)^2+(-3 + a)^2 = r^2$ ②。
由①②可得$(-1 - a)^2+a^2 = (-2 - a)^2+(-3 + a)^2$，
$1 + 2a + a^2+a^2 = 4 + 4a + a^2+9 - 6a + a^2$，
$2a^2+2a + 1 = 2a^2 - 2a + 13$，
$4a = 12$，解得$a = 3$。
把$a = 3$代入$b = 1 - a$，得$b = 1 - 3 = -2$。
把$a = 3$，$b = -2$代入$(-1 - a)^2+(1 - b)^2 = r^2$，得$(-1 - 3)^2+(1+2)^2 = r^2$，$r^2 = 16 + 9 = 25$。
所以圆$C$的标准方程为$(x - 3)^2+(y + 2)^2 = 25$。
(2)将$x^2+y^2-8y + 16$进行变形可得$x^2+(y - 4)^2$，其几何意义是圆$C$上的点$P(x,y)$到点$Q(0,4)$的距离的平方。
圆心$C(3,-2)$到点$Q(0,4)$的距离$d = \sqrt{(3 - 0)^2+(-2 - 4)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$。
因为圆$C$的半径$r = 5$，所以圆$C$上的点$P$到点$Q$的距离的最小值为$d - r = 3\sqrt{5} - 5$。
所以$x^2+y^2-8y + 16$的最小值为$(3\sqrt{5} - 5)^2 = 70 - 30\sqrt{5}$。
设此时点$P$的坐标为$(x_0,y_0)$，$\overrightarrow{PQ}=\lambda\overrightarrow{CQ}$（$\lambda$为实数），$\overrightarrow{PQ}=(0 - x_0,4 - y_0)=(-x_0,4 - y_0)$，$\overrightarrow{CQ}=(0 - 3,4+2)=(-3,6)$，则$\begin{cases}-x_0=-3\lambda\\4 - y_0 = 6\lambda\end{cases}$，即$\begin{cases}x_0 = 3\lambda\\y_0 = 4 - 6\lambda\end{cases}$。
因为点$P(x_0,y_0)$在圆$C$上，所以$(x_0 - 3)^2+(y_0 + 2)^2 = 25$，即$(3\lambda - 3)^2+(4 - 6\lambda + 2)^2 = 25$，
$(3\lambda - 3)^2+(6 - 6\lambda)^2 = 25$，
$9\lambda^2 - 18\lambda + 9 + 36 - 72\lambda + 36\lambda^2 = 25$，
$45\lambda^2 - 90\lambda + 20 = 0$，
$9\lambda^2 - 18\lambda + 4 = 0$，
$\lambda=\frac{18\pm\sqrt{324 - 144}}{18}=\frac{18\pm\sqrt{180}}{18}=\frac{18\pm6\sqrt{5}}{18}=1\pm\frac{\sqrt{5}}{3}$。
因为是距离最小值时的点，所以$\lambda = 1-\frac{\sqrt{5}}{3}$，
$x_0 = 3(1-\frac{\sqrt{5}}{3}) = 3 - \sqrt{5}$，$y_0 = 4 - 6(1-\frac{\sqrt{5}}{3}) = 2\sqrt{5} - 2$。
所以取最小值时对应的点$P$的坐标为$(3 - \sqrt{5},2\sqrt{5} - 2)$。

16. 方程$y - 1=\sqrt{1-(x - 1)^2}$表示的曲线是（ ）
A. 半圆
B. 圆
C. 两个圆
D. 两个半圆

答案： A

17. 设$A(x_{A},y_{A})$，$B(x_{B},y_{B})$为平面直角坐标系内的两点，其中$x_{A},x_{B},y_{A},y_{B}\in Z$.令$\Delta x=x_{B}-x_{A}$，$\Delta y=y_{B}-y_{A}$，若$|\Delta x|+|\Delta y| = 3$，且$|\Delta x|\cdot|\Delta y|\neq0$，则称点B为点A的“相关点”，记作$B = \tau(A)$.
(1)求点(0,0)的“相关点”的个数.
(2)点(0,0)的所有“相关点”是否在同一个圆上？若在，写出圆的方程；若不在，请说明理由.

答案：
(1)已知$A(0,0)$，设$B(x,y)$为点$A$的“相关点”，则$\Delta x = x - 0 = x$，$\Delta y = y - 0 = y$。
因为$|\Delta x| + |\Delta y| = 3$，且$|\Delta x|\cdot|\Delta y|\neq0$，所以$|x| + |y| = 3$（$x\neq0$且$y\neq0$）。
当$x = 1$时，$y = \pm2$；当$x = 2$时，$y = \pm1$；当$x = -1$时，$y = \pm2$；当$x = -2$时，$y = \pm1$。
所以点$(0,0)$的“相关点”有$(1,2)$，$(1,-2)$，$(2,1)$，$(2,-1)$，$(-1,2)$，$(-1,-2)$，$(-2,1)$，$(-2,-1)$，共$8$个。
(2)点$(0,0)$的所有“相关点”$B(x,y)$满足$|x| + |y| = 3$（$x\neq0$且$y\neq0$），两边同时平方可得$(|x| + |y|)^2 = 9$，即$x^2 + y^2 + 2|xy| = 9$。
又因为$x^2 + y^2 = (\sqrt{x^2 + y^2})^2$表示点$B(x,y)$到原点$(0,0)$的距离的平方，而点$(0,0)$的所有“相关点”到原点的距离都为$\sqrt{x^2 + y^2}=\sqrt{9 - 2|xy|}$，且$x^2 + y^2 = 5$（将$|x| + |y| = 3$两边平方后，结合$x,y\in Z$化简可得）。
所以点$(0,0)$的所有“相关点”在以原点$(0,0)$为圆心，$\sqrt{5}$为半径的圆上，圆的方程为$x^2 + y^2 = 5$。