《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

9. [2021·广东湛江二十一中高二期中]以下说法正确的是( )
A. 若两条不同直线$l$，$m$的方向向量分别是$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，则$l// m\Leftrightarrow\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$
B. 直线$l$的方向向量为$\boldsymbol{a}$，平面$\alpha$的法向量为$\boldsymbol{u}$，若$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{u}=0$且$l\not\subset\alpha$，则$l//\alpha$
C. 若直线$l$的方向向量$\boldsymbol{a}=(1,-1,2)$，平面$\alpha$的法向量$\boldsymbol{u}=(6,4,-1)$，则$l\perp\alpha$
D. 若两个不同平面$\alpha$，$\beta$的法向量分别为$\boldsymbol{u}=(3,2,-2)$，$\boldsymbol{v}=(-6,-4,4)$，则$\alpha//\beta$

答案： ABD

10. [2023·安徽安庆一中高二月考]如图，在棱长为1的正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$E$，$F$，$G$分别是棱$CC_{1}$，$AD$，$A_{1}B_{1}$的中点，则下列结论正确的是( )

A. $CF//$平面$AED_{1}$
B. $CF\perp DG$
C. $DG\perp$平面$AED_{1}$
D. $CF// DG$

答案： ABC

11. [2023·辽宁省实验中学高二阶段练习]如图，在四棱锥$P - ABCD$中，底面$ABCD$为平行四边形，$\angle DAB=\frac{\pi}{3}$，$AB = 2AD = 2PD$，$PD\perp$底面$ABCD$，则( )

A. $PA\perp BD$
B. $PB$与平面$ABCD$所成的角为$\frac{\pi}{3}$
C. 异面直线$AB$与$PC$所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D. 平面$PAB$与平面$ABCD$所成的二面角为$\frac{\pi}{4}$

答案： ACD

12. [2022·江苏宿迁三校高二联考]如图，在正三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$AB = AA_{1}=\sqrt{3}$，$D$为棱$CC_{1}$上的动点，则( )

A. 三棱锥$D - ABC$的外接球的最大半径为$\frac{\sqrt{5}}{2}$
B. 存在点$D$，使得平面$A_{1}BD\perp$平面$ABB_{1}A_{1}$
C. 点$A$到平面$A_{1}BD$的最大距离为$\frac{\sqrt{6}}{2}$
D. $\triangle A_{1}BD$面积的最大值为$\frac{3\sqrt{7}}{4}$

答案： ABCD

13. [2022·广东东莞高二期末]在空间直角坐标系中，点$A(-1,1,-2)$关于原点的对称点为点$B$，则$AB =$________.

答案： $2\sqrt{6}$

14. [2023·黑龙江牡丹江第三高级中学高二月考]已知直线$l$外一点$A(-1,0,2)$，直线$l$过原点$O$，且平行于向量$\boldsymbol{m}=(0,4,2)$，则点$A$到直线$l$的距离为________.

答案： $\frac{\sqrt{30}}{5}$

15. [2022·江苏扬州高二期末]在正四棱柱$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AA_{1}=4$，$AB=\sqrt{3}$，点$N$为四边形$BCC_{1}B_{1}$内部一动点(不含边界)，且满足$D_{1}N\perp CN$. 记直线$D_{1}N$与平面$BCC_{1}B_{1}$所成的角为$\theta$，则$\tan\theta$的取值范围为________.

答案： $(0,\frac{\sqrt{3}}{2})$

16. [2021·辽宁沈阳第五中学高二月考]如图，已知正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为2，点$M$，$N$分别是棱$BC$，$CC_{1}$的中点，则二面角$C - AM - N$的余弦值为________. 若动点$P$在正方形$BCC_{1}B_{1}$内(包括边界)运动，且$PA_{1}//$平面$AMN$，则线段$PA_{1}$的长度的取值范围是________.

答案： $\frac{\sqrt{5}}{5}$；$[2\sqrt{2},\sqrt{10}]$

17. (本小题满分10分) [2023·河北沧州二中高二月考]已知空间三点$A(-2,0,2)$，$B(-1,1,2 + 2t)$，$C(-3,t,4)$，设$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{AB}$，$\boldsymbol{b}=\overrightarrow{AC}$.
(1)若$A$，$B$，$C$三点共线，求$t$的值；
(2)若$t = 0$，当向量$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$k\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}$互相垂直时，求$k$的值.

答案：
(1)因为$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{AB}=(1,1,2t)$，$\boldsymbol{b}=\overrightarrow{AC}=(-1,t,2)$，若$A$，$B$，$C$三点共线，则$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，所以$\frac{1}{ - 1}=\frac{1}{t}=\frac{2t}{2}$，解得$t = - 1$.
(2)当$t = 0$时，$\boldsymbol{a}=(1,1,0)$，$\boldsymbol{b}=(-1,0,2)$，则$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(k - 1,k,2)$，$k\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}=(k + 2,k,-4)$.
因为$(k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\perp(k\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})$，所以$(k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(k\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}) = 0$，即$(k - 1)(k + 2)+k^{2}-8 = 0$，
展开得$k^{2}+2k - k - 2 + k^{2}-8 = 0$，$2k^{2}+k - 10 = 0$，
分解因式得$(2k + 5)(k - 2)=0$，解得$k = 2$或$k =-\frac{5}{2}$.