《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

11. [2022·湖北十堰高二期末]已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的左、右焦点分别为$F_{1},F_{2}$，$P$为椭圆$C$上一点，若$\triangle PF_{1}F_{2}$的周长为$18$，长半轴长为$5$，则椭圆$C$的离心率为（ ）
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{4}{5}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{2\sqrt{2}}{5}$

答案： C

12. [2022·云南红河州高二学业质量监测]已知点$A,B$分别是椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的右、上顶点，过椭圆$C$上一点$P$向$x$轴作垂线，垂足恰好为左焦点$F_{1}$，且$AB// OP$，则椭圆$C$的离心率为（ ）
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{4}$

答案： B

13. 已知椭圆$C_{1}:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$与圆$C_{2}:x^{2}+y^{2}=\frac{4b^{2}}{5}$，若在椭圆$C_{1}$上存在点$P$，使由点$P$所作的圆$C_{2}$的两条切线互相垂直，则椭圆$C_{1}$的离心率的取值范围是（ ）
A. $(0,\frac{2\sqrt{10}}{5})$
B. $(0,\frac{\sqrt{6}}{4})$
C. $[\frac{\sqrt{3}}{3},1)$
D. $[\frac{\sqrt{6}}{4},1)$

答案： D

14. [2022·河南商丘一中高二期末]已知$F_{1},F_{2}$是椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的左、右焦点，$O$为原点，点$M$是$C$上一点（不在坐标轴上），点$N$是$OF_{2}$的中点，若$MN$平分$\angle F_{1}MF_{2}$，则椭圆$C$的离心率的取值范围是（ ）
A. $(\frac{1}{2},1)$
B. $(0,\frac{1}{2})$
C. $(\frac{1}{3},1)$
D. $(0,\frac{1}{3})$

答案： A

15. 直线$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$与椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$的交点个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案： C

16. 若直线$mx + ny = 4$与圆$x^{2}+y^{2}=4$没有交点，则过点$P(m,n)$的直线与椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$的交点的个数为（ ）
A. 0或1
B. 2
C. 1
D. 0

答案： B

17. 给定四条曲线：①$x^{2}+y^{2}=\frac{5}{2}$，②$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$，③$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$，④$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$，其中与直线$x + y - \sqrt{5}=0$仅有一个交点的曲线是________（填序号）.

答案： ①③④

18. [2022·四川遂宁射洪中学高二月考]已知直线$l:y = x + m(m\in\mathbf{R})$与椭圆$C:\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$交于$A,B$两点.
(1)求$m$的取值范围；
(2)若$|AB|=\frac{4}{3}$，求$m$的值.

答案：
(1)联立直线$l$与椭圆$C$的方程$\begin{cases}y = x + m\\\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1\end{cases}$，消去$y$得$\frac{x^{2}}{2}+(x + m)^{2}=1$，即$3x^{2}+4mx + 2m^{2}-2 = 0$.
因为直线与椭圆有两个交点，所以$\Delta=(4m)^{2}-4\times3\times(2m^{2}-2)\gt0$，即$16m^{2}-24m^{2}+24\gt0$，$-8m^{2}+24\gt0$，$m^{2}-3\lt0$，解得$-\sqrt{3}\lt m\lt\sqrt{3}$.
(2)设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=-\frac{4m}{3}$，$x_{1}x_{2}=\frac{2m^{2}-2}{3}$.
则$|AB|=\sqrt{1 + 1^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{(-\frac{4m}{3})^{2}-4\times\frac{2m^{2}-2}{3}}=\frac{4}{3}$，即$\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{16m^{2}}{9}-\frac{8m^{2}-8}{3}}=\frac{4}{3}$，$\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{16m^{2}-24m^{2}+24}{9}}=\frac{4}{3}$，$\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{-8m^{2}+24}{9}}=\frac{4}{3}$，两边平方得$2\times\frac{-8m^{2}+24}{9}=\frac{16}{9}$，$-16m^{2}+48 = 16$，$16m^{2}=32$，$m^{2}=2$，解得$m=\pm\sqrt{2}$，满足$-\sqrt{3}\lt m\lt\sqrt{3}$.