《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

20. (本小题满分12分)已知圆$x^{2} + y^{2} + x - 6y + m = 0$和直线$x + 2y - 3 = 0$交于$P$，$Q$两点，且$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = 0$($O$为原点)，求该圆的圆心坐标及半径.

答案： 【解】将$x = 3 - 2y$代入方程$x^{2} + y^{2} + x - 6y + m = 0$，得$5y^{2} - 20y + 12 + m = 0$。 设$P(x_{1},y_{1})$，$Q(x_{2},y_{2})$，则$y_{1} + y_{2} = 4$，$y_{1}y_{2} = \frac{12 + m}{5}$。 $\because\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} = 0$，$\therefore x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} = 0$。 而$x_{1} = 3 - 2y_{1}$，$x_{2} = 3 - 2y_{2}$， $\therefore x_{1}x_{2} = 9 - 6(y_{1} + y_{2}) + 4y_{1}y_{2}$， $\therefore 9 - 6×4 + 5×\frac{12 + m}{5} = 0$，$\therefore m = 3$，此时$\Delta>0$， $\therefore$圆心坐标为$(-\frac{1}{2},3)$，半径$r = \frac{5}{2}$。

21. (本小题满分12分)已知点$G(5,4)$，圆$C_{1}$：$(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 25$，过点$G$的动直线$l$与圆$C_{1}$相交于两点$E$，$F$，线段$EF$的中点为$C$.
(1)求点$C$的轨迹$C_{2}$的方程.
(2)若过点$A(1,0)$的直线$l_{1}:kx - y - k = 0$与$C_{2}$相交于两点$P$，$Q$，线段$PQ$的中点为$M$，$l_{1}$与$l_{2}:x + 2y + 2 = 0$的交点为$N$，求证：$|AM|\cdot|AN|$为定值.

答案：
(1)【解】圆$C_{1}:(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 25$的圆心为$C_{1}(1,4)$，半径为$5$。 设$C(x,y)$。由圆的性质及勾股定理，得$(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (x - 5)^{2} + (y - 4)^{2} = (5 - 1)^{2} + (4 - 4)^{2}$， 化简并整理，得$(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 4$， 所以点$C$的轨迹$C_{2}$的方程为$(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 4$。
(2)【证明】因为过点$A(1,0)$的直线$l_{1}$与$C_{2}$相交于$P$，$Q$两点， 结合$C_{2}$的方程$(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 4$，知$k\neq0$， 解方程组$\begin{cases}kx - y - k = 0\\x + 2y + 2 = 0\end{cases}$，得$N(\frac{2k - 2}{2k + 1},-\frac{3k}{2k + 1})$。 由直线$C_{2}M$与$l_{1}$垂直，得$C_{2}M$的方程为$y - 4 = - \frac{1}{k}(x - 3)$， 解方程组$\begin{cases}y = kx - k\\y - 4 = - \frac{1}{k}(x - 3)\end{cases}$，得$M(\frac{k^{2} + 4k + 3}{1 + k^{2}},\frac{4k^{2} + 2k}{1 + k^{2}})$。 则$|AM| = \sqrt{(1 - \frac{k^{2} + 4k + 3}{1 + k^{2}})^{2} + ( - \frac{4k^{2} + 2k}{1 + k^{2}})^{2}} = \frac{2|2k + 1|\sqrt{1 + k^{2}}}{1 + k^{2}}$， $|AN| = \sqrt{(1 - \frac{2k - 2}{2k + 1})^{2} + (\frac{3k}{2k + 1})^{2}} = \frac{3\sqrt{1 + k^{2}}}{|2k + 1|}$， 所以$|AM|\cdot|AN| = \frac{2|2k + 1|\sqrt{1 + k^{2}}}{1 + k^{2}}\cdot\frac{3\sqrt{1 + k^{2}}}{|2k + 1|} = 6$为定值。 

22. (本小题满分12分)[2022·河南商丘高二期中]圆$C:x^{2} - (1 + a)x + y^{2} - ay + a = 0$.
(1)若圆$C$与$y$轴相切，求圆$C$的方程.
(2)已知$a ＞ 1$，圆$C$与$x$轴相交于两点$M$，$N$(点$M$在点$N$的左侧). 过点$M$任作一条直线与圆$O:x^{2} + y^{2} = 9$相交于$A$，$B$两点. 问：是否存在实数$a$，使得$\angle ANM = \angle BNM$？若存在，求出实数$a$的值；若不存在，请说明理由.

答案： 【解】
(1)联立成方程组$\begin{cases}y = 0\\x^{2} - (1 + a)x + y^{2} - ay + a = 0\end{cases}$， 所以$x^{2} - (1 + a)x + a = 0$。 由题意，得$\Delta = (1 + a)^{2} - 4a = (a - 1)^{2} = 0$，解得$a = 1$。 故所求圆$C$的方程为$x^{2} - 2x + y^{2} - y + 1 = 0$。
(2)令$y = 0$，得$x^{2} - (1 + a)x + a = 0$，即$(x - 1)(x - a) = 0$。 所以$M(1,0)$，$N(a,0)$。 若存在实数$a$，使得$\angle ANM = \angle BNM$，则$k_{AN} + k_{BN} = 0$。 当直线$AB$存在斜率$k$时，设直线$AB$的方程为$y = k(x - 1)$，代入$x^{2} + y^{2} = 9$，得$(1 + k^{2})x^{2} - 2k^{2}x + k^{2} - 9 = 0$， 所以$\Delta = (-2k^{2})^{2} - 4(1 + k^{2})(k^{2} - 9)>0$。 设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则$x_{1} + x_{2} = \frac{2k^{2}}{1 + k^{2}}$，$x_{1}x_{2} = \frac{k^{2} - 9}{1 + k^{2}}$。 所以$k_{AN} + k_{BN} = \frac{y_{1}}{x_{1} - a} + \frac{y_{2}}{x_{2} - a} = \frac{k[(x_{1} - 1)(x_{2} - a) + (x_{2} - 1)(x_{1} - a)]}{(x_{1} - a)(x_{2} - a)}$。 而$(x_{1} - 1)(x_{2} - a) + (x_{2} - 1)(x_{1} - a) = 2x_{1}x_{2} - (a + 1)(x_{1} + x_{2}) + 2a = 2×\frac{k^{2} - 9}{1 + k^{2}} - (a + 1)\frac{2k^{2}}{1 + k^{2}} + 2a = \frac{2a - 18}{1 + k^{2}}$， 所以$\frac{2a - 18}{1 + k^{2}} = 0$，即$a = 9$。 当直线$AB$不存在斜率，即与$x$轴垂直时，$a = 9$也满足题意。 故存在$a = 9$，使得$\angle ANM = \angle BNM$。

 问题1：在大西北的荒漠上，A，B两地相距2 km，准备在荒漠上围成一片以AB为一条对角线的平行四边形区域，建立农艺园. 按照规划，围墙总长度为8 km.
（1）农艺园的最大面积能达到多少？
（2）该荒漠上有一条直线型水沟刚好过点A，且与AB成45°角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园内的水沟要重新设计改造，因此该水沟被农艺园围住的部分暂不加固，则暂不加固的部分有多长？

答案： 略

问题2：抛物线的光学性质：平行于抛物线的对称轴的光线经抛物线反射后经过抛物线的焦点. 双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上. 这些性质可以应用到天文望远镜的设计等方面. 卡塞格林式望远镜是由两块反射镜组成的望远镜，如图（中心截面示意图）所示，反射镜中大的称为主镜，小的称为副镜，通常在主镜的中央开孔，成像于主镜后面. 主镜是凹抛物面镜（中心截面是抛物线C，当来自天体的平行于对称轴的光线投射到主镜上，经过主镜反射，将会汇聚到卡塞格林焦点F处，但光线尚未完全汇聚时，又受到以F为焦点的凸双曲面镜（中心截面是双曲线D的一支）的反射，穿过主镜中心孔后汇聚于另一个焦点F'处. 以FF'的中点为原点，FF'为x轴，建立平面直角坐标系. 若|FF'| = 2(单位：m)，则
（1）抛物线C的方程为________；
（2）已知凹抛物面镜的口径MN为4√2 - 4，凸双曲面镜的口径ST为1/2，若所有被凹抛物面镜汇聚的光线恰好都能被凸双曲面镜反射，则双曲线D的离心率为________.

答案： 略