《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. 在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： B

2. 求满足下列条件的轨迹方程：
（1）动点M(x,y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，求动点M(x,y)的轨迹方程；
（2）已知圆F:(x + 3)² + y² = 1，直线l:x = 2，求与直线l相切且与圆F外切的圆的圆心M的轨迹方程.

答案： 【解】 - （1）因为动点$M$到$y$轴的距离比它到定点$(2,0)$的距离小$2$，所以动点$M$到定点$(2,0)$的距离与它到定直线$x = - 2$的距离相等（利用“定义法”求轨迹方程的关键是找出动点满足的等量关系）.所以动点$M$的轨迹是以点$(2,0)$为焦点，直线$x = - 2$为准线的抛物线，且$p = 4$，所以抛物线的方程为$y^{2}=8x$.因为$x$轴上在点$(0,0)$左侧的点到$y$轴的距离比它到点$(2,0)$的距离小$2$（解题过程易只考虑第一种情况，忽略对特殊点的讨论），所以点$M$的轨迹方程为$y = 0(x\lt0)$.综上所述，动点$M$的轨迹方程为$y = 0(x\lt0)$或$y^{2}=8x$. - （2）如图，由图知，点$M$到点$F$的距离比到直线$l$的距离大$1$.记直线$x = 3$为直线$l'$，则点$M$到点$F$的距离等于到直线$l'$的距离，由抛物线的定义可知，点$M$的轨迹为顶点在原点，开口向左的抛物线，其中$p = 6$，所以点$M$的轨迹方程为$y^{2}=-12x$.

3. [2022·河南洛阳高二质量检测]已知抛物线:y = px²(其中p为常数)过点A(1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于（ ）
A. $\frac{1}{12}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{3}{2}$
D. 3

答案： B

4. 抛物线x² = 2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{3}=1$相交于A,B两点. 若△ABF为等边三角形，则抛物线的准线方程为（ ）
A. y = -6
B. y = -3
C. x = -6
D. x = -3

答案： B

5. [2023·黑龙江大庆中学高二月考]抛物线y = $\frac{1}{8}$x²的准线方程是_______.

答案： y=-2

6. [2022·福建泉州部分学校高二联考]已知抛物线y² = 2px(p＞0)上有一点M(2,y₀)与焦点之间的距离为3，则p = _______.

答案： 2

7. 已知抛物线y² = 2px(p＞0)上一点M的纵坐标为-4$\sqrt{2}$，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为_______.

答案： $y^{2}=16x或y^{2}=8x$

8. 根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）准线方程为y = -$\frac{3}{2}$；
（2）焦点为直线x - 2y - 4 = 0与坐标轴的交点.

答案： 【解】 - （1）因为抛物线的准线方程为$y = -\frac{3}{2}$，所以$\frac{p}{2}=\frac{3}{2}$，所以$p = 3$，所以抛物线的标准方程是$x^{2}=6y$. - （2）令$x = 0$，得$y = - 2$；令$y = 0$，得$x = 4$.所以抛物线的焦点坐标为$(4,0)$或$(0,-2)$.当焦点为$(4,0)$时，抛物线的标准方程为$y^{2}=16x$；当焦点为$(0,-2)$时，抛物线的标准方程为$x^{2}=-8y$.综上所述，抛物线的标准方程为$y^{2}=16x$或$x^{2}=-8y$.