《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. [2022·河北石家庄高二期中]若直线$Ax + By + C = 0$过原点，则$A,B,C$满足的条件是（ ）
A. $C = 0$
B. $AB\neq0$且$C = 0$
C. $A^{2}+B^{2}\neq0$且$C = 0$
D. $A + B = 0$

答案： C

2. [2022·江苏海门中学高二期末]已知直线$l$过点$(2,3)$且与直线$m:x - 2y + 5 = 0$平行，则直线$l$的方程为（ ）
A. $2x + y - 7 = 0$
B. $2x - y - 1 = 0$
C. $x - 2y + 4 = 0$
D. $x - 2y + 1 = 0$

答案： C

3. 若方程$Ax + By + C = 0$表示与两条坐标轴都相交的直线，则应满足的条件是________.

答案： $A\neq0$且$B\neq0$

4. ①直线$BC$的方向向量是$(\sqrt{3},1)$，②直线$AC$的斜率为$\sqrt{3}$. 在这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下面的问题.
已知以角$A$为顶角的等腰三角形$ABC$的顶点$A(-1,2),B(-3,2)$，________.
(1)求直线$AC$的一般式方程；
(2)求直线$BC$的一般式方程；
(3)求角$A$的平分线所在直线的一般式方程.
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.

答案： 【解】 - （1）因为$A(-1,2)$，$B(-3,2)$，所以$AB\parallel x$轴. - 若选择条件①：直线$BC$的方向向量是$(\sqrt{3},1)$，则直线$BC$的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以直线$BC$的倾斜角为$30^{\circ}$. 因为$\triangle ABC$是以角$A$为顶角的等腰三角形，所以直线$AC$的倾斜角为$60^{\circ}$，如图（1）. 因为$A(-1,2)$，所以直线$AC$的方程为$y - 2=\sqrt{3}(x + 1)$，其一般式方程为$\sqrt{3}x - y + 2+\sqrt{3}=0$. - 若选择条件②：直线$AC$的斜率为$\sqrt{3}$，则直线$AC$的倾斜角为$60^{\circ}$. 因为$\triangle ABC$是以角$A$为顶角的等腰三角形，所以直线$BC$的倾斜角为$30^{\circ}$或$120^{\circ}$，如图（2）. 因为$A(-1,2)$，所以直线$AC$的方程为$y - 2=\sqrt{3}(x + 1)$，其一般式方程为$\sqrt{3}x - y + 2+\sqrt{3}=0$. - （2） - 若选择条件①：因为$B(-3,2)$，直线$BC$的倾斜角为$30^{\circ}$，所以直线$BC$的方程为$y - 2=\frac{\sqrt{3}}{3}(x + 3)$，其一般式方程为$\sqrt{3}x - 3y + 6 + 3\sqrt{3}=0$. - 若选择条件②：因为$B(-3,2)$，直线$BC$的倾斜角为$30^{\circ}$或$120^{\circ}$，所以直线$BC$的方程为$y - 2=\frac{\sqrt{3}}{3}(x + 3)$或$y - 2=-\sqrt{3}(x + 3)$，其一般式方程为$\sqrt{3}x - 3y + 6 + 3\sqrt{3}=0$或$\sqrt{3}x + y + 3\sqrt{3}-2=0$. - （3） - 若选择条件①：由（2）可知，角$A$的平分线所在直线的倾斜角为$120^{\circ}$，斜率为$-\sqrt{3}$，所以角$A$的平分线所在直线的方程为$y - 2=-\sqrt{3}(x + 1)$，其一般式方程为$\sqrt{3}x + y - 2+\sqrt{3}=0$. - 若选择条件②：由（2）可知，角$A$的平分线所在直线的倾斜角为$120^{\circ}$或$30^{\circ}$，其斜率为$-\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以角$A$的平分线所在直线的方程为$y - 2=-\sqrt{3}(x + 1)$或$y - 2=\frac{\sqrt{3}}{3}(x + 1)$，其一般式方程为$\sqrt{3}x + y - 2+\sqrt{3}=0$或$\sqrt{3}x - 3y + 6+\sqrt{3}=0$. 

5. 在平面直角坐标系中，直线$x+\sqrt{3}y - 3 = 0$的倾斜角是（ ）
A. $30^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $150^{\circ}$
D. $120^{\circ}$

答案： C

6. [2022·辽宁大连高二期末]直线$l_{1}:2x + 3y - 2 = 0$，$l_{2}:2x + 3y + 2 = 0$的位置关系是（ ）
A. 垂直
B. 平行
C. 相交
D. 重合

答案： B

7. 已知直线$l_{1}:(m + 2)x-(m - 2)y + 2 = 0$，直线$l_{2}:3x + my - 5 = 0$，且$l_{1}\perp l_{2}$，则$m$的值为________.

答案： 6或 - 1

8. 已知直线$(a + 2)x+(a^{2}-2a - 3)y - 2a = 0$在$x$轴上的截距为$3$，则直线在$y$轴上的截距为________.

答案： $-\frac{4}{3}$

9. 经过点$A(2,1)$，且与直线$l_{0}:2x + ay - 10 = 0(a\in\mathbf{R})$垂直的直线$l$的方程为________.

答案： 当$a = 0$时，直线$l$的方程为$x - 2 = 0$；当$a\neq0$时，直线$l$的方程为$ax - 2y - 2a + 2 = 0$

10. [2022·安徽皖北高二联考]“$ab = 4$”是直线“$2x + ay - 1 = 0$与直线$bx + 2y - 2 = 0$平行”的（ ）
A. 充分必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： C

11. [2022·安徽合肥高二月考]设$M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})$为不同的两点，直线$l:Ax + By + C = 0$. 记$\lambda=\frac{Ax_{1}+By_{1}+C}{Ax_{2}+By_{2}+C}$，则下列结论正确的个数是（ ）
①不论$\lambda$为何值，点$N$都不在直线$l$上；
②若$\lambda = 1$，则过$M,N$的直线与直线$l$相交；
③若$\lambda=-1$，则直线$l$经过线段$MN$的中点.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案： D