《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. 圆心为(-1,1)，半径为$\sqrt{2}$的圆的标准方程为（ ）
A. $(x + 1)^2+(y - 1)^2 = 2$
B. $(x + 1)^2+(y + 1)^2=\sqrt{2}$
C. $(x - 1)^2+(y + 1)^2 = 2$
D. $(x + 1)^2+(y - 1)^2=\sqrt{2}$

答案： A

2. [2022·河南省实验中学高二期中]若一圆的圆心坐标为(2,-3)，直径AB的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是（ ）
A. $(x - 2)^2+(y + 3)^2 = 13$
B. $(x + 2)^2+(y - 3)^2 = 13$
C. $(x - 2)^2+(y + 3)^2 = 52$
D. $(x + 2)^2+(y - 3)^2 = 52$

答案： A

3. 已知A(-4,-5)，B(6,-1)，以线段AB为直径的圆的标准方程为_______.

答案： $(x - 1)^2+(y + 3)^2 = 29$

4. 过点A(1,3)与点B(-2,5)且面积最小的圆的标准方程为_______.

答案： $(x+\frac{1}{2})^2+(y - 4)^2=\frac{13}{4}$

5. 一圆过原点O和点P(1,3)，圆心在直线y = x + 2上，求此圆的标准方程.

答案： 设圆的标准方程为$(x - a)^2+(y - b)^2 = r^2$，
因为圆过原点$O(0,0)$和点$P(1,3)$，所以$\begin{cases}a^{2}+b^{2}=r^{2}\\(1 - a)^{2}+(3 - b)^{2}=r^{2}\end{cases}$，
又因为圆心$(a,b)$在直线$y = x + 2$上，所以$b=a + 2$，
将$b=a + 2$代入$a^{2}+b^{2}=r^{2}$和$(1 - a)^{2}+(3 - b)^{2}=r^{2}$中，
$a^{2}+(a + 2)^{2}=r^{2}$，$(1 - a)^{2}+(3-(a + 2))^{2}=r^{2}$，
即$a^{2}+a^{2}+4a + 4=r^{2}$，$(1 - a)^{2}+(1 - a)^{2}=r^{2}$，
$2a^{2}+4a + 4 = 2(1 - a)^{2}$，
$2a^{2}+4a + 4 = 2(1 - 2a+a^{2})$，
$2a^{2}+4a + 4 = 2 - 4a+2a^{2}$，
$8a=-2$，解得$a=-\frac{1}{4}$，
则$b=a + 2=-\frac{1}{4}+2=\frac{7}{4}$，
$r^{2}=a^{2}+b^{2}=(-\frac{1}{4})^{2}+(\frac{7}{4})^{2}=\frac{1 + 49}{16}=\frac{25}{8}$，
所以圆的标准方程为$(x+\frac{1}{4})^2+(y - \frac{7}{4})^2=\frac{25}{8}$

6. [2023·广东深圳外国语学校高二期中]点M(a,a + 1)与圆C：$(x - 1)^2+y^2 = 1$的位置关系是（ ）
A. M在C外
B. M在C上
C. M在C内
D. 不确定，与a的取值有关

答案： A

7. [2022·安徽蚌埠高二期中]若点(a,a)在圆$(x - 1)^2+(y + 2)^2 = 2a^2$的内部，则a的取值范围为（ ）
A. $(-\infty,-\frac{5}{2})$
B. $(-\infty,-\frac{5}{2}]$
C. $[-\frac{5}{2},+\infty)$
D. $(-\frac{5}{2},+\infty)$

答案： A

8. 过四点(0,0)，(4,0)，(-1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为_______.

答案： $(x - 2)^2+(y - 1)^2 = 5$或$(x - 2)^2+(y - \frac{8}{3})^2=\frac{100}{9}$或$(x - \frac{8}{5})^2+(y - 1)^2=\frac{169}{25}$或$(x - 2)^2+(y - 3)^2 = 13$

9. [2022·福建龙岩一中高二期中]已知三点A(3,2)，B(5,-3)，C(-1,3)，以点P(2,-1)为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.

答案： 本题可先分别计算出点$A$、$B$、$C$到圆心$P$的距离，再根据距离大小确定圆的半径，进而得到圆的方程。\n**步骤一：计算点$A$、$B$、$C$到圆心$P$的距离**
根据两点间距离公式$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$（其中$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$为两点坐标，$d$为两点间距离），分别计算$\vert PA\vert$、$\vert PB\vert$、$\vert PC\vert$：\n$\vert PA\vert = \sqrt{(3 - 2)^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$\n$\vert PB\vert = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-3 + 1)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$\n$\vert PC\vert = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (3 + 1)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$\n**步骤二：比较距离大小，确定圆的半径**
比较$\vert PA\vert$、$\vert PB\vert$、$\vert PC\vert$的大小：$\sqrt{10} \lt \sqrt{13} \lt 5$，即$\vert PA\vert \lt \vert PB\vert \lt \vert PC\vert$。
要使$A$，$B$，$C$三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径$r = \vert PB\vert = \sqrt{13}$。\n**步骤三：根据圆的标准方程写出圆的方程**
已知圆心$P(2,-1)$，半径$r = \sqrt{13}$，根据圆的标准方程$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$（其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径），可得圆的方程为$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 13$。
综上，这个圆的方程为$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 13$。

10.（多选）[2023·河北石家庄高二期中]设有一组圆$C_{k}:(x - k)^2+(y - k)^2 = 4(k\in R)$，下列命题正确的是（ ）
A. 不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B. 所有圆$C_{k}$均不经过点(3,0)
C. 经过点(2,2)的圆$C_{k}$有且只有一个
D. 所有圆的面积均为4π

答案： ABD