《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

17. 若过点$P(0,1)$作直线$l$，使$l$与双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$有且仅有一个公共点，则直线$l$的方程为________.

答案： $y = 2x + 1$或$y=-2x + 1$或$y = 1$或$x = 0$

18. [2022·河南驻马店新蔡一中高二月考]已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点分别为$F_{1},F_{2}$. 若双曲线的左支上存在一点$P$，使得$PF_{2}$与双曲线的一条渐近线垂直于点$Q$，且$|PF_{2}| = 3|F_{2}Q|$，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. $y=\pm\frac{3}{4}x$
B. $y=\pm\frac{4}{3}x$
C. $y=\pm\frac{2}{3}x$
D. $y=\pm\frac{3}{2}x$

答案： B

19. (多选)[2022·福建闽侯一中高二月考]已知双曲线$C:x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线$C$的离心率等于半焦距的长
B. 双曲线$y^{2}-\frac{x^{2}}{4}=1$与双曲线$C$有相同的渐近线
C. 直线$x=\frac{\sqrt{30}}{5}$被双曲线$C$截得的弦长为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D. 直线$y = kx + b(k,b\in\mathbf{R})$与双曲线$C$的公共点个数只可能为0,1,2

答案： ACD

20. 以椭圆$\frac{x^{2}}{13}+\frac{y^{2}}{3}=1$的焦点为焦点，以直线$y=\pm\frac{1}{2}x$为渐近线的双曲线方程为________.

答案： $\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{2}=1$

21. 已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的右焦点为$F$，$P$为$C$右支上一点，圆$P$与$x$轴切于点$F$，与$y$轴交于$A,B$两点. 若$\triangle APB$为直角三角形，则$C$的离心率为________.

答案： $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

22. [2022·湖南邵阳二中高二月考]已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b＞0)$，直线$m:x + y + 2 = 0$. 若直线$m$平行于双曲线$C$的一条渐近线，则$b =$________；若在直线$m$上存在点$P$满足：过点$P$能向双曲线$C$引两条互相垂直的切线，则双曲线$C$的离心率的取值范围是________.

答案： $4$；$[\frac{\sqrt{6}}{2},+\infty)$

23. [2022·四川内江资中球溪中学高二月考]已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的其中一个焦点为$(\sqrt{5},0)$，一条渐近线方程为$2x - y = 0$.
(1)求双曲线$C$的标准方程；
(2)已知倾斜角为$\frac{3\pi}{4}$的直线$l$与双曲线$C$交于$A,B$两点，且线段$AB$的中点的纵坐标为4，求直线$l$的方程.

答案：
(1)因为双曲线的一个焦点为$(\sqrt{5},0)$，所以$c=\sqrt{5}$，又一条渐近线方程为$y = 2x$，即$\frac{b}{a}=2$，$b = 2a$.
由$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，可得$5=a^{2}+4a^{2}=5a^{2}$，解得$a^{2}=1$，$b^{2}=4$.
所以双曲线$C$的标准方程为$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$.
(2)设直线$l$的方程为$y=-x + t$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$.
联立$\begin{cases}y=-x + t\\x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1\end{cases}$，将$y=-x + t$代入$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$得：
$x^{2}-\frac{(-x + t)^{2}}{4}=1$，
$4x^{2}-(x^{2}-2tx + t^{2})=4$，
$4x^{2}-x^{2}+2tx - t^{2}-4 = 0$，
$3x^{2}+2tx - t^{2}-4 = 0$.
则$x_1+x_2=-\frac{2t}{3}$，$y_1+y_2=-x_1 + t-x_2 + t=-(x_1+x_2)+2t=\frac{2t}{3}+2t=\frac{8t}{3}$.
因为线段$AB$的中点的纵坐标为4，所以$\frac{y_1 + y_2}{2}=4$，即$\frac{\frac{8t}{3}}{2}=4$，$\frac{4t}{3}=4$，解得$t = 3$.
所以直线$l$的方程为$y=-x + 3$，即$x + y - 3 = 0$.