《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. [2022·天津三中高二月考]设$F_1,F_2$分别是双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{8}=1$的左、右焦点，若点$P$在双曲线上，且$|PF_1| = 5$，则$|PF_2| =$（ ）
A. 5
B. 3
C. 7
D. 3或7

答案： D

2. 在一个平面上，设$F_1,F_2$是两个定点，$P$是一个动点，且满足$P$到$F_1$的距离与$P$到$F_2$的距离差为$|F_1F_2|$，即$|PF_1|-|PF_2| = |F_1F_2|$，则动点$P$的轨迹是（ ）
A. 一条线段
B. 一条射线
C. 一个椭圆
D. 双曲线的一支

答案： B

3. [2022·河北衡水冀州一中高二期中]已知$A(0,-2),B(0,2),C(3,2)$，动点$P$满足$|PA|+|AC| = |PB|+|BC|$，则点$P$的轨迹是（ ）
A. 椭圆
B. 双曲线
C. 射线
D. 双曲线的一支

答案： D

4. [2022·天津滨海学校高二月考]若双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(b＞0)$的焦点分别为$F_1(-5,0),F_2(5,0)$，则$b$等于（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. $\sqrt{6}$

答案： B

5. 若双曲线的焦点在$x$轴上，且$a + c = 9,b = 3$，则双曲线的标准方程为_______.

答案： $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$

6. 已知$\frac{x^{2}}{1 - k}-\frac{y^{2}}{|k| - 3} = -1$，当$k$为何值时：
（1）方程表示双曲线；
（2）表示焦点在$x$轴上的双曲线；
（3）表示焦点在$y$轴上的双曲线.

答案： （1）由题意得$(1 - k)(|k| - 3)＞0$.
当$k\geq0$时，$(1 - k)(k - 3)＞0$，即$(k - 1)(k - 3)＜0$，解得$1＜k＜3$；
当$k＜0$时，$(1 - k)(-k - 3)＞0$，即$(k - 1)(k + 3)＞0$，解得$k＜ - 3$.
综上，当$k＜ - 3$或$1＜k＜3$时，方程表示双曲线.
（2）若方程表示焦点在$x$轴上的双曲线，则$\begin{cases}1 - k＜0\\|k| - 3＜0\end{cases}$，即$\begin{cases}k＞1\\ - 3＜k＜3\end{cases}$，解得$1＜k＜3$.
（3）若方程表示焦点在$y$轴上的双曲线，则$\begin{cases}1 - k＞0\\|k| - 3＞0\end{cases}$，即$\begin{cases}k＜1\\k＞3或k＜ - 3\end{cases}$，解得$k＜ - 3$.

7. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点为$(0,-5),(0,5)$，经过点$(\frac{4\sqrt{3}}{3},2\sqrt{3})$；
（2）经过$(3,-4\sqrt{2})$和$(\frac{9}{4},5)$两点；
（3）焦点为$(2,0),(-2,0)$，且双曲线上的一点到两个焦点的距离之差为 2.

答案： （1）由题意知，双曲线的焦点在$y$轴上，且$c = 5$.
设双曲线的标准方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$，则$a^{2}+b^{2}=c^{2}=25$.
因为点$(\frac{4\sqrt{3}}{3},2\sqrt{3})$在双曲线上，所以$\frac{(2\sqrt{3})^{2}}{a^{2}}-\frac{(\frac{4\sqrt{3}}{3})^{2}}{b^{2}} = 1$.
联立$\begin{cases}a^{2}+b^{2}=25\\\frac{12}{a^{2}}-\frac{16}{3b^{2}} = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a^{2}=16\\b^{2}=9\end{cases}$或$\begin{cases}a^{2}=45\\b^{2}=-20\end{cases}$（舍去）.
所以双曲线的标准方程为$\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{9}=1$.
（2）设双曲线的方程为$mx^{2}+ny^{2}=1(mn＜0)$.
因为双曲线经过$(3,-4\sqrt{2})$和$(\frac{9}{4},5)$两点，所以$\begin{cases}9m + 32n = 1\\\frac{81}{16}m + 25n = 1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}m = -\frac{1}{9}\\n=\frac{1}{16}\end{cases}$.
所以双曲线的标准方程为$\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{9}=1$.
（3）由题意知，双曲线的焦点在$x$轴上，且$c = 2$，$2a = 2$，即$a = 1$.
所以$b^{2}=c^{2}-a^{2}=4 - 1 = 3$.
所以双曲线的标准方程为$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$.