《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

1.[2022.山东聊城高二期中]设点P是圆(x−3)²+(y+1)²=4上的动点,点Q是直线x=−3上的动点,则|PQ|的最小值为　　　　　　　　(　　　)
　
A.6　　
　B.4　　　
　C.3　　　
　D.2

答案： B

2.[2022.湖北娄底怀仁高二期中]点P在圆C₁:x²+y²−8x−4y+11=0上,点Q在圆C₂:x²+y²+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是　　　　　　(　　　)
　
A.5　　　　　　　　　B.1
　
C.3$\sqrt{5}$−5　　　　　　　D.3$\sqrt{5}$+5

答案： C

3.如果点P是直线l:3x−4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x²+y²−2x−2y+1=0的两条切线,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是　　(　　　)
　
A.√2　　　　　　　　B.2√2
　
C.$\sqrt{3}$　　　　　　　　D.2$\sqrt{3}$

答案： D

4.[2022.四川南充二中高二期中]已知圆C:(x−3)²+(y−4)²=1和两点A(−m,0),B(m,0)(m＞0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.7　　
　B.6　　　
　C.5　　　
　D.4

答案： B

5.设P(x,y)是曲线x²+(y+4)²=4上任意一点,则$\sqrt{(x−1)²+(y−1)²}$的最大值为________.

答案： $\sqrt{26}$+2

6.已知实数x和y满足方程(x+1)²+y²=$\frac{1}{4}$,则x²+y² 的最大值是________,最小值是________.

答案： $\frac{9}{4}$；$\frac{1}{4}$

7.[2022.山西怀仁高二期中]已知实数x,y满足方程x²+y²−4x+1=0,则$\frac{y}{x}$的最大值是________,最小值是________.

答案： $\sqrt{3}$；−$\sqrt{3}$

8.已知实数x,y满足方程x²+y²−4x+1=0,则y−x的最大值是________,最小值是________.

答案： −2+$\sqrt{6}$；−2−$\sqrt{6}$

9.已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆
C:x²+y²−4x−2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是________.

答案： 2$\sqrt{5}$−2

10.(多选)圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,且圆的半径为$\sqrt{5}$,则圆的方程可能是　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　　
A.x²+y²=5　　　　　B.(x−1)²+y²=5
　　　　　　　
C.x²+(y+1)²=5　　　D.(x−1)²+(y+1)²=5

答案： BD

11.[2022.山西运城高中联合体高二期中]圆(x+2)²+y²=5关于直线x−y+1=0对称的圆的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　　
A.(x−2)²+y²=5　　　B.x²+(y−2)²=5
　　　　　　　
C.(x−1)²+(y−1)²=5D.(x+1)²+(y+1)²=5

答案： D

12.已知圆C与y轴相切,圆心C在直线x−3y=0 上,且直线x−y=0被圆C所截得的线段长为2√.
　　　　　　　(1)求圆C的方程;
　　　　　　　(2)若圆C与y轴正半轴相切,从点M(−1,−2)
　　　　　　　发出的光线经过直线y=x+4反射,反射光线刚好通过圆C的圆心,求反射光线所在直线的方程.

答案：
(1)设圆心为C(3a,a),半径为r=|3a|.
圆心C到直线x - y = 0的距离d=$\frac{|3a - a|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{2}|a|$.
已知直线x - y = 0被圆C所截得的线段长为$2\sqrt{7}$,根据垂径定理$r^{2}=d^{2}+(\sqrt{7})^{2}$,即$9a^{2}=2a^{2}+7$,
$7a^{2}=7$,解得$a=\pm1$.
当$a = 1$时,圆心$C(3,1)$,半径$r = 3$,圆C的方程为$(x - 3)^{2}+(y - 1)^{2}=9$;
当$a=-1$时,圆心$C(-3,-1)$,半径$r = 3$,圆C的方程为$(x + 3)^{2}+(y + 1)^{2}=9$.
(2)因为圆C与y轴正半轴相切,所以圆C的方程为$(x - 3)^{2}+(y - 1)^{2}=9$,圆心$C(3,1)$.
设点$M(-1,-2)$关于直线$y=x + 4$的对称点为$N(x_{0},y_{0})$.
则线段$MN$的中点$(\frac{x_{0}-1}{2},\frac{y_{0}-2}{2})$在直线$y=x + 4$上,且$k_{MN}=-1$.
可得$\begin{cases}\frac{y_{0}-2}{2}=\frac{x_{0}-1}{2}+4\\\frac{y_{0}+2}{x_{0}+1}=-1\end{cases}$,
由$\frac{y_{0}-2}{2}=\frac{x_{0}-1}{2}+4$得$y_{0}-2=x_{0}-1 + 8$,即$y_{0}=x_{0}+9$.
将$y_{0}=x_{0}+9$代入$\frac{y_{0}+2}{x_{0}+1}=-1$得$\frac{x_{0}+9 + 2}{x_{0}+1}=-1$,
$x_{0}+11=-(x_{0}+1)$,
$x_{0}+11=-x_{0}-1$,
$2x_{0}=-12$,解得$x_{0}=-6$,
$y_{0}=-6 + 9 = 3$,所以$N(-6,3)$.
反射光线所在直线就是直线$NC$,其斜率$k=\frac{3 - 1}{-6 - 3}=-\frac{2}{9}$.
根据点斜式可得反射光线所在直线方程为$y - 1=-\frac{2}{9}(x - 3)$,即$2x+9y - 15 = 0$.