《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. 已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1$，则长轴的端点为（ ）
A. $(3,0),(-3,0)$
B. $(0,3),(0,-3)$
C. $(0,2\sqrt{2}),(0,-2\sqrt{2})$
D. $(2\sqrt{2},0),(-2\sqrt{2},0)$

答案： A

2. [2022·河南南阳六校高二联考]设$F_{1},F_{2}$为椭圆$C:y^{2}+\frac{x^{2}}{m^{2}}=1(0＜m＜1)$的上、下焦点. 若在椭圆$C$上存在一点$P$，使$PF_{1}\perp PF_{2}$，则实数$m$的取值范围是（ ）
A. $(0,\frac{1}{2}]$
B. $[\frac{1}{2},1)$
C. $(0,\frac{\sqrt{2}}{2}]$
D. $[\frac{\sqrt{2}}{2},1)$

答案： C

3. 若点$(2,4)$在椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$上，则有（ ）
A. 点$(2,-4)$不在椭圆上
B. 点$(4,2)$在椭圆上
C. 点$(-2,-4)$不在椭圆上
D. 点$(-2,4)$在椭圆上

答案： D

4. [2022·四川名校联盟高二联考]若椭圆$C:\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{9}=1(m＞9)$比椭圆$D:\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{3}=1$更扁，则椭圆$C$的长轴长的取值范围是（ ）
A. $(6,6\sqrt{2})$
B. $(18,36)$
C. $(6\sqrt{2},+\infty)$
D. $(36,+\infty)$

答案： C

5. [2022·福建厦门双十中学高二期中]已知椭圆$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{4}=1(m＞4)$的焦距是$2$，则$m$的值是________.

答案： 5

6. 焦点在$x$轴上的椭圆的方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{m}=1$，点$P(\sqrt{2},1)$在椭圆上.
(1)求$m$的值.
(2)依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.

答案：
(1)将点$P(\sqrt{2},1)$代入椭圆方程$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{m}=1$，可得$\frac{(\sqrt{2})^{2}}{4}+\frac{1^{2}}{m}=1$，即$\frac{1}{2}+\frac{1}{m}=1$，解得$m = 2$.
(2)由
(1)知椭圆方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$，则$a^{2}=4$，$b^{2}=2$，所以$a = 2$，$b=\sqrt{2}$，$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{4 - 2}=\sqrt{2}$.
长轴长$2a = 4$，短轴长$2b = 2\sqrt{2}$，焦距$2c = 2\sqrt{2}$，离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

7. 已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长和短轴长之和为$36$，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为$1$，则椭圆的标准方程为（ ）
A. $\frac{x^{2}}{26^{2}}+\frac{y^{2}}{10^{2}}=1$或$\frac{x^{2}}{10^{2}}+\frac{y^{2}}{26^{2}}=1$
B. $\frac{x^{2}}{26^{2}}+\frac{y^{2}}{24^{2}}=1$或$\frac{x^{2}}{24^{2}}+\frac{y^{2}}{26^{2}}=1$
C. $\frac{x^{2}}{13^{2}}+\frac{y^{2}}{5^{2}}=1$或$\frac{x^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}}{13^{2}}=1$
D. $\frac{x^{2}}{13^{2}}+\frac{y^{2}}{12^{2}}=1$或$\frac{x^{2}}{12^{2}}+\frac{y^{2}}{13^{2}}=1$

答案： D

8. [2022·黑龙江鸡西实验中学高二期中]已知$F_{1}(0,-2),F_{2}(0,2)$是椭圆$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的两个焦点，且椭圆的长轴长为$4\sqrt{2}$，则此椭圆的方程为________.

答案： 由焦点坐标可知$c = 2$，长轴长$2a = 4\sqrt{2}$，则$a = 2\sqrt{2}$，根据$b^{2}=a^{2}-c^{2}$，可得$b^{2}=(2\sqrt{2})^{2}-2^{2}=8 - 4 = 4$，所以椭圆方程为$\frac{y^{2}}{8}+\frac{x^{2}}{4}=1$.

9. 已知椭圆的对称中心为原点、对称轴为坐标轴，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为$8$，且离心率为$\frac{3}{5}$，则此椭圆的标准方程为________.

答案： 设椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt b\gt0)$或$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a\gt b\gt0)$.
因为椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为$a + c = 8$，又离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$，即$c=\frac{3}{5}a$，代入$a + c = 8$，可得$a+\frac{3}{5}a = 8$，$\frac{8}{5}a = 8$，解得$a = 5$，则$c = 3$，$b^{2}=a^{2}-c^{2}=25 - 9 = 16$.
所以椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$或$\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{16}=1$.

10. [2022·四川南充南部二中高二月考]在直角坐标系$Oxy$中，椭圆$C$的中心为原点，焦点$F_{1},F_{2}$在$y$轴上，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过$F_{1}$的直线$l$交$C$于$A,B$两点，且$\triangle ABF_{2}$的周长为$16$，那么椭圆$C$的方程为________.

答案： 因为$\triangle ABF_{2}$的周长为$|AB|+|AF_{2}|+|BF_{2}|=(|AF_{1}|+|AF_{2}|)+(|BF_{1}|+|BF_{2}|)=4a = 16$，所以$a = 4$.
又离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$c = 2\sqrt{2}$，根据$b^{2}=a^{2}-c^{2}$，可得$b^{2}=16 - 8 = 8$.
因为焦点在$y$轴上，所以椭圆$C$的方程为$\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{8}=1$.