《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

17. [2022·四川成都双流中学高二开学考试]已知动圆M与直线y = -2相切，且与定圆C:x² + (y - 3)² = 1外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为_______.

答案： $x^{2}=12y$

18. 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线y = -2与抛物线交于点A，且|AF| = $\frac{5}{2}$. 写出抛物线的一个标准方程为_______.

答案： $y^{2}=2x$

19. [2022·湖南邵阳新邵高二期末]从抛物线y² = 4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM| = 9. 设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为_______.

答案： $\frac {4\sqrt {2}}{7}$

20. 若P是抛物线y² = 8x上的动点，P到y轴的距离为d₁，到圆C:(x + 3)² + (y - 3)² = 4上动点Q的距离为d₂，则d₁ + d₂的最小值为_______.

答案： $\sqrt {34}-4$

21. 设P是抛物线y² = 4x上的一个动点，F为抛物线的焦点.
（1）若点P到直线x = -1的距离为d，A(-1,1)，求|PA| + d的最小值；
（2）若B(3,2)，求|PB| + |PF|的最小值.

答案： 【解】 - （1）依题意，抛物线的焦点为$F(1,0)$，准线方程为$x = - 1$.由抛物线的定义，知$|PF|=d$，所以当$F,P,A$三点共线时，$|PA|+|PF|$取得最小值，且最小值为$|AF|=\sqrt{5}$，所以$|PA|+d$的最小值为$\sqrt{5}$. - （2）把点$B$的横坐标代入$y^{2}=4x$中，得$y=\pm2\sqrt{3}$.因为$2\sqrt{3}\gt2$，所以点$B$在抛物线的内部（当抛物线开口向右时，把该点的横坐标代入抛物线方程，若解得的$y$值大于该点的纵坐标值，则该点在抛物线内部；若解得的$y$值小于该点的纵坐标值，则该点在抛物线的外部；若解得的$y$值等于该点的纵坐标值，则该点在抛物线上）.如图，过点$B$作$BQ$垂直准线于点$Q$，交抛物线于点$P_{1}$，连接$P_{1}F$.由抛物线的定义，可知$|P_{1}Q|=|P_{1}F|$，则$|PB|+|PF|\geqslant|P_{1}B|+|P_{1}Q|=|BQ|=3 + 1 = 4$，所以$|PB|+|PF|$的最小值为$4$.

 

答案： 【解】 - （1）因为曲线$C$上的任意一点到定点$F(1,0)$的距离与到定直线$x = - 1$的距离相等，所以曲线$C$的轨迹是以$F(1,0)$为焦点的抛物线，且$\frac{p}{2}=1$（根据圆锥曲线的定义判断所求曲线的形状是解决问题的关键），所以$p = 2$，所以曲线$C$的方程为$y^{2}=4x$. - （2）不妨设点$A$在第一象限，点$B$在第四象限.由抛物线的定义结合$|FA|=2$可得，点$A$到准线$x = - 1$的距离为$2$，则点$A$的横坐标为$1$，将其代入抛物线方程，得$y = 2$，故$A(1,2)$，同理，由$|FB|=5$可得$B(4,-4)$，故直线$AB$的斜率$k=\frac{2-(-4)}{1 - 4}=-2$，所以直线$AB$的方程为$y - 2=-2(x - 1)$，即$2x + y - 4 = 0$.由点到直线的距离公式可得，原点$O$到直线$AB$的距离为$\frac{|-4|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$.

23. 已知抛物线过点A(2,-4)，则抛物线的标准方程为_______.

答案：  $y^{2}=8x$或$x^{2}=-y$