《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

19. [2022·内蒙古赤峰二中高二月考]已知中心在原点，焦点在$x$轴上的椭圆$C$的离心率为$\frac{1}{2}$，其中一个顶点是直线$2x - y - \sqrt{3}=0$与$y$轴的交点.
(1)求椭圆$C$的标准方程；
(2)若过点$P(4,0)$的直线$l$与椭圆$C$在第一象限相切于点$M$，求直线$l$的方程和点$M$的坐标.

答案：
(1)对于直线$2x - y - \sqrt{3}=0$，令$x = 0$，得$y=-\sqrt{3}$，所以椭圆的一个顶点为$(0,-\sqrt{3})$，则$b=\sqrt{3}$.
又离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，且$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，即$a^{2}=3 + c^{2}$，将$c=\frac{1}{2}a$代入得$a^{2}=3+\frac{1}{4}a^{2}$，$\frac{3}{4}a^{2}=3$，$a^{2}=4$.
所以椭圆$C$的标准方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$.
(2)设直线$l$的方程为$y = k(x - 4)$，联立$\begin{cases}y = k(x - 4)\\\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\end{cases}$，消去$y$得$\frac{x^{2}}{4}+\frac{k^{2}(x - 4)^{2}}{3}=1$，即$(3 + 4k^{2})x^{2}-32k^{2}x + 64k^{2}-12 = 0$.
因为直线$l$与椭圆$C$相切，所以$\Delta=( - 32k^{2})^{2}-4(3 + 4k^{2})(64k^{2}-12)=0$，即$1024k^{4}-4(192k^{2}-36 + 256k^{4}-48k^{2})=0$，$1024k^{4}-768k^{2}+144 - 1024k^{4}+192k^{2}=0$，$-576k^{2}+144 = 0$，$k^{2}=\frac{1}{4}$，解得$k=\pm\frac{1}{2}$.
因为直线$l$与椭圆$C$在第一象限相切，所以$k=-\frac{1}{2}$.
则直线$l$的方程为$y=-\frac{1}{2}(x - 4)$，即$x + 2y - 4 = 0$.
将$k=-\frac{1}{2}$代入$(3 + 4k^{2})x^{2}-32k^{2}x + 64k^{2}-12 = 0$得$4x^{2}-8x + 4 = 0$，即$x^{2}-2x + 1 = 0$，解得$x = 1$，代入直线$l$方程得$y=\frac{3}{2}$，所以点$M$的坐标为$(1,\frac{3}{2})$.

20. 已知椭圆$C$过点$(3,0)$，且离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，则椭圆$C$的标准方程为（ ）
A. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{3}=1$
B. $\frac{y^{2}}{27}+\frac{x^{2}}{9}=1$
C. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{3}=1$或$\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{9}=1$
D. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{3}=1$或$\frac{y^{2}}{27}+\frac{x^{2}}{9}=1$

答案： D

21. 设点$P(x,y)$在椭圆$4x^{2}+y^{2}=4$上，则$5x^{2}+y^{2}-6x$的最大值为________.

答案： 由$4x^{2}+y^{2}=4$得$y^{2}=4 - 4x^{2}$，则$5x^{2}+y^{2}-6x=5x^{2}+4 - 4x^{2}-6x=x^{2}-6x + 4=(x - 3)^{2}-5$.
因为点$P(x,y)$在椭圆$4x^{2}+y^{2}=4$上，所以$x\in[-1,1]$.
函数$f(x)=(x - 3)^{2}-5$在$[-1,1]$上单调递减，所以当$x=-1$时，$f(x)$取得最大值，$f(-1)=(-1 - 3)^{2}-5=16 - 5 = 11$.

22. [2022·安徽芜湖南陵中学高二学情调查]已知椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的左、右焦点分别为$B,C$，$A$为椭圆上的一点（不为左、右端点），则$\triangle ABC$面积的最大值是（ ）
A. 15
B. 12
C. 6
D. 3

答案： B

23.（原创）当椭圆$\frac{x^{2}}{2t}+\frac{y^{2}}{t^{2}+4}=1$的离心率最小时，它的焦距为（ ）
A. 2
B. $2\sqrt{2}$
C. 4
D. $4\sqrt{2}$

答案： C

24. [2022·甘肃平凉泾川高二期末]已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$，焦距为$2c$，以原点$O$为圆心，$b$为半径作圆$O$. 若过点$P(\frac{\sqrt{15}}{5}a,\frac{\sqrt{15}}{5}a)$作圆$O$的两条切线，切点分别为$A,B$，且$|AB|=\frac{4\sqrt{3}}{3}c$，则椭圆$C$的离心率为（ ）
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{1}{2}$

答案： B

25.（多选）[2022·江苏镇江扬中二中高二检测]已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0＜b＜2)$的左、右焦点分别为$F_{1},F_{2}$，过点$F_{1}$的直线$l$交椭圆于$A,B$两点. 若$|AF_{2}|+|BF_{2}|$的最大值为$5$，则（ ）
A. 椭圆的短轴长为$2\sqrt{3}$
B. 当$|AF_{2}|+|BF_{2}|$最大时，$|AF_{2}|=|BF_{2}|$
C. 离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $|AB|$的最小值为$3$

答案： ACD