《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

10.[2022·河北张家口第一中学高二期末]已知平面$\alpha$的法向量为$\boldsymbol{\mu}=(1,-1,t)$，平面$\beta$的法向量为$\boldsymbol{v}=(-2,2,6)$. 若$\alpha//\beta$，则实数$t=$_______.

答案： -3

11.[2021·湖北十堰高二期中]如图，在棱长为2的正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，E，F分别为棱BC，CD的中点. 求证：$D_{1}F//$平面$A_{1}EC_{1}$.

答案： 证明：以D为原点，分别以$DA,DC,DD_{1}$所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
则$D_{1}(0,0,2),F(0,1,0),A_{1}(2,0,2),E(1,2,0),C_{1}(0,2,2)$.
所以$\overrightarrow{D_{1}F}=(0,1, - 2)$，$\overrightarrow{A_{1}E}=( - 1,2, - 2)$，$\overrightarrow{A_{1}C_{1}}=( - 2,2,0)$.
设平面$A_{1}EC_{1}$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{A_{1}E}=-x + 2y-2z = 0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{A_{1}C_{1}}=-2x + 2y = 0\end{cases}$，
令$x = 2$，则$y = 2$，$z = 1$，所以$\boldsymbol{n}=(2,2,1)$.
因为$\overrightarrow{D_{1}F}\cdot\boldsymbol{n}=0\times2 + 1\times2+( - 2)\times1 = 0$，
所以$\overrightarrow{D_{1}F}\perp\boldsymbol{n}$，又$D_{1}F\not\subset$平面$A_{1}EC_{1}$，
所以$D_{1}F//$平面$A_{1}EC_{1}$.

12.[2022·安徽蚌埠第二中学高二期中]如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB，CD为两条互相垂直的直径，Q是底面圆周上的动点（异于A，B），且C，Q在直径AB的两侧. 已知$PO = OB = 1$.
（1）若$\angle QOB=\frac{\pi}{4}$，求证：$PQ\perp AC$.
（2）若在线段PQ上存在点T（异于P，Q），使得$BT//$平面PAC，求$\angle QOB$的取值范围.

答案： （1）证明：以O为原点，分别以$OA,OC,OP$所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
则$P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0)$.
因为$\angle QOB=\frac{\pi}{4}$，$OB = 1$，所以$Q(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},0)$.
所以$\overrightarrow{PQ}=(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}, - 1)$，$\overrightarrow{AC}=( - 1,1,0)$.
因为$\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times( - 1)+(-\frac{\sqrt{2}}{2})\times1+( - 1)\times0=-\sqrt{2}\neq0$，
所以$\overrightarrow{PQ}\perp\overrightarrow{AC}$，即$PQ\perp AC$.
（2）设$\angle QOB=\theta$，则$Q(\cos\theta,-\sin\theta,0)$，$\overrightarrow{PQ}=(\cos\theta,-\sin\theta, - 1)$，$\overrightarrow{BT}=\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PT}=\overrightarrow{BP}+\lambda\overrightarrow{PQ}(0\lt\lambda\lt1)$.
$\overrightarrow{BP}=(0,0,1)$，所以$\overrightarrow{BT}=( \lambda\cos\theta,-\lambda\sin\theta,1 - \lambda)$.
设平面PAC的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，
$\overrightarrow{PA}=(1,0, - 1)$，$\overrightarrow{PC}=(0,1, - 1)$，
则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{PA}=x - z = 0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{PC}=y - z = 0\end{cases}$，令$z = 1$，则$x = 1$，$y = 1$，所以$\boldsymbol{n}=(1,1,1)$.
因为$BT//$平面PAC，所以$\overrightarrow{BT}\cdot\boldsymbol{n}=\lambda\cos\theta-\lambda\sin\theta + 1 - \lambda = 0$，
即$\lambda(\cos\theta-\sin\theta - 1)= - 1$，$\lambda=\frac{1}{1 + \sin\theta-\cos\theta}$.
因为$0\lt\lambda\lt1$，所以$0\lt\frac{1}{1 + \sin\theta-\cos\theta}\lt1$，
即$1+\sin\theta-\cos\theta\gt1$，$\sin\theta-\cos\theta\gt0$，$\sqrt{2}\sin(\theta-\frac{\pi}{4})\gt0$.
因为$0\lt\theta\lt\pi$，所以$\frac{\pi}{4}\lt\theta\lt\pi$，即$\angle QOB$的取值范围是$(\frac{\pi}{4},\pi)$.

13.[2023·河南洛阳一中高二月考]已知直线$l_{1},l_{2}$的方向向量分别为$\boldsymbol{a}=(1,m,-1),\boldsymbol{b}=(-2,1,1)$. 若$l_{1}\perp l_{2}$，则$m=$（ ）
A. 1
B. 2
C. 0
D. 3

答案： D

14.[2022·江苏南通海安实验中学高二期中]直线l的一个方向向量为$(4,2,3)$，平面$\alpha$的一个法向量为$(2,1,t)$. 若$l\perp\alpha$，则实数$t=$（ ）
A.$\frac{3}{2}$
B. 1
C. -2
D.$-\frac{8}{3}$

答案： A

15.[2023·江苏南京第十二中学高二月考]平面$\alpha$的法向量$\boldsymbol{u}=(1,2,-1)$，平面$\beta$的法向量$\boldsymbol{v}=(\lambda^{2},2,8)$. 若$\alpha\perp\beta$，则$\lambda$的值是（ ）
A. 2
B. -2
C. $\pm2$
D. 不存在

答案： C

16.[2022·山东潍坊高密第三中学高二月考]如图，在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，E，F分别是$BB_{1}$，CD的中点，求证：$D_{1}F\perp$平面ADE.

答案： 证明：以D为原点，分别以$DA,DC,DD_{1}$所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则$D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),D_{1}(0,0,2),F(0,1,0)$.
所以$\overrightarrow{D_{1}F}=(0,1, - 2)$，$\overrightarrow{DA}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{DE}=(2,2,1)$.
因为$\overrightarrow{D_{1}F}\cdot\overrightarrow{DA}=0\times2 + 1\times0+( - 2)\times0 = 0$，$\overrightarrow{D_{1}F}\cdot\overrightarrow{DE}=0\times2 + 1\times2+( - 2)\times1 = 0$，
所以$\overrightarrow{D_{1}F}\perp\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{D_{1}F}\perp\overrightarrow{DE}$，
又$DA\cap DE = D$，$DA,DE\subset$平面ADE，
所以$D_{1}F\perp$平面ADE.