《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

17.[2023·广东珠海实验中学高二月考]如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，$MD\perp$平面ABCD，$NB\perp$平面ABCD，且$MD = NB = 1$，E为BC的中点.
（1）证明：$MN//$平面ABCD.
（2）在线段AN上是否存在点S，使得$ES\perp$平面AMN？如果存在，求出线段AS的长度；若不存在，请说明理由.

答案： （1）证明：以D为原点，分别以$DA,DC,DM$所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
则$M(0,0,1),N(1,1,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),E(\frac{1}{2},1,0)$.
所以$\overrightarrow{MN}=(1,1,0)$，平面ABCD的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(0,0,1)$.
因为$\overrightarrow{MN}\cdot\boldsymbol{n}=1\times0 + 1\times0+0\times1 = 0$，且$MN\not\subset$平面ABCD，
所以$MN//$平面ABCD.
（2）设$\overrightarrow{AS}=\lambda\overrightarrow{AN}(0\leqslant\lambda\leqslant1)$，$\overrightarrow{AN}=(0,1,1)$，则$\overrightarrow{AS}=(0,\lambda,\lambda)$，$S(1,\lambda,\lambda)$.
$\overrightarrow{ES}=( \frac{1}{2},\lambda - 1,\lambda)$，$\overrightarrow{AM}=( - 1,0,1)$，$\overrightarrow{MN}=(1,1,0)$.
因为$ES\perp$平面AMN，所以$\begin{cases}\overrightarrow{ES}\cdot\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}+0+\lambda = 0\\\overrightarrow{ES}\cdot\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}+\lambda - 1+0 = 0\end{cases}$，
解得$\lambda=\frac{1}{2}$.
所以$\overrightarrow{AS}=(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，$|\overrightarrow{AS}|=\sqrt{0^{2}+(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
所以在线段AN上存在点S，使得$ES\perp$平面AMN，此时线段AS的长度为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

18.平面$\alpha$的法向量为$\boldsymbol{m}$，若向量$\overrightarrow{AB}\perp\boldsymbol{m}$，则直线AB与平面$\alpha$的位置关系为_______.
 

答案： $AB//\alpha$或$AB\subset\alpha$

19.[2023·天津第四十二中高二月考]给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A. 若直线l的方向向量$\boldsymbol{a}=(1,-1,2)$，直线m的方向向量$\boldsymbol{b}=(2,1,-\frac{1}{2})$，则l与m平行
B. 若直线l的方向向量$\boldsymbol{a}=(0,1,-1)$，平面$\alpha$的法向量$\boldsymbol{n}=(1,-1,-1)$，则$l\perp\alpha$
C. 若平面$\alpha,\beta$的法向量分别为$\boldsymbol{n}_{1}=(0,1,3)$，$\boldsymbol{n}_{2}=(1,0,2)$，则$\alpha\perp\beta$
D. 若平面$\alpha$经过三点$A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0)$，向量$\boldsymbol{n}=(1,u,t)$是平面$\alpha$的法向量，则$u + t = 1$

答案： D

20.[2023·福建泉州晋江第一中学高二月考]如图，在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为$BB_{1}$的中点，F为$A_{1}D_{1}$的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是（ ）

A.$(1,-2,4)$
B.$(-4,1,-2)$
C.$(2,-2,1)$
D.$(1,2,-2)$

答案： B

21.[2022·湖南邵阳高二期末]如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，$AB=\sqrt{2},AF = 1$，点M在EF上，且$CM\perp$平面BDE，则点M的坐标为（ ）

A.$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1)$
B.$(1,\frac{\sqrt{2}}{2},1)$
C.$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$
D.$(1,1,1)$

答案： A

22.（多选）如图，在长方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB=\sqrt{3}AD=\sqrt{3}AA_{1}=\sqrt{3}$，点P是线段$A_{1}C$上的动点，则下列结论正确的是（ ）

A. 当$\overrightarrow{A_{1}C}=2\overrightarrow{A_{1}P}$时，$B,P,D_{1}$三点共线
B. 当$\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{A_{1}C}$时，$\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{D_{1}P}$
C. 当$\overrightarrow{A_{1}C}=3\overrightarrow{A_{1}P}$时，$D_{1}P//$平面$BDC_{1}$
D. 当$\overrightarrow{A_{1}C}=5\overrightarrow{A_{1}P}$时，$A_{1}C\perp$平面$D_{1}AP$

答案： ABC