《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

10. (原创)记双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$在第一、三象限的渐近线为$l$，写出一个满足条件“点$P(1,2),Q(1,1)$位于$l$的两侧”的$C$的离心率为________.

答案： $\sqrt{5}$（答案不唯一）

11. 已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点分别为$F_{1},F_{2}$，点$P$是双曲线右支上一点.
(1)求$|PF_{1}|,|PF_{2}|$的最小值；
(2)若右支上存在点$P$，满足$|PF_{1}|=4|PF_{2}|$，求双曲线的离心率的取值范围.

答案：
(1)由双曲线的定义知$|PF_{1}|-|PF_{2}| = 2a$，即$|PF_{1}|=|PF_{2}| + 2a$.
因为点$P$在双曲线右支上，所以$|PF_{2}|\geqslant c - a$，则$|PF_{1}|=|PF_{2}| + 2a\geqslant c - a+2a=c + a$.
所以$|PF_{1}|$的最小值为$c + a$，$|PF_{2}|$的最小值为$c - a$.
(2)因为$|PF_{1}|=4|PF_{2}|$且$|PF_{1}|-|PF_{2}| = 2a$，所以$4|PF_{2}|-|PF_{2}| = 2a$，$3|PF_{2}| = 2a$，解得$|PF_{2}|=\frac{2a}{3}$.
又因为$|PF_{2}|\geqslant c - a$，所以$\frac{2a}{3}\geqslant c - a$，即$\frac{2a}{3}+a\geqslant c$，$\frac{5a}{3}\geqslant c$.
则离心率$e=\frac{c}{a}\leqslant\frac{5}{3}$，又因为$e＞1$，所以$1＜e\leqslant\frac{5}{3}$.

12. [2023·安徽合肥八中高二月考]若直线$l:y=k(x - 1)$与双曲线$C:x^{2}-y^{2}=2$没有公共点，则斜率$k$的取值范围是（ ）
A. $(-\infty,-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty)$
B. $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$
C. $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$
D. $(-1,1)$

答案： A

13. 已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的离心率为2，直线$l$与$C$交于$P,Q$两点，$D$为线段$PQ$的中点，$O$为原点，则直线$l$与直线$OD$的斜率的乘积为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6

答案： B

14. 若直线$y = kx$与双曲线$x^{2}-y^{2}=1$的两支各有一个交点，则实数$k$的取值范围是________.

答案： $(-1,1)$

15. [2022·广东广州越秀高二期末]已知焦点在$x$轴上的双曲线$C$的离心率为$\frac{\sqrt{15}}{3}$，且过点$(\sqrt{6},\sqrt{2})$.
(1)求双曲线$C$的标准方程；
(2)若直线$l:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1$与双曲线$C$交于$A,B$两点，求弦长$|AB|$.

答案：
(1)设双曲线$C$的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$，离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{15}}{3}$，即$c=\frac{\sqrt{15}}{3}a$.
又$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，所以$(\frac{\sqrt{15}}{3}a)^{2}=a^{2}+b^{2}$，$\frac{5}{3}a^{2}=a^{2}+b^{2}$，$b^{2}=\frac{2}{3}a^{2}$.
因为双曲线过点$(\sqrt{6},\sqrt{2})$，所以$\frac{(\sqrt{6})^{2}}{a^{2}}-\frac{(\sqrt{2})^{2}}{b^{2}}=1$，将$b^{2}=\frac{2}{3}a^{2}$代入可得：
$\frac{6}{a^{2}}-\frac{2}{\frac{2}{3}a^{2}}=1$，$\frac{6}{a^{2}}-\frac{3}{a^{2}}=1$，$\frac{3}{a^{2}}=1$，解得$a^{2}=3$，则$b^{2}=2$.
所以双曲线$C$的标准方程为$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1$.
(2)联立直线$l$与双曲线$C$的方程$\begin{cases}y=\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1\\\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1\end{cases}$，将$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1$代入$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1$得：
$\frac{x^{2}}{3}-\frac{(\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1)^{2}}{2}=1$，
$2x^{2}-3\times(\frac{1}{3}x^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}x + 1)=6$，
$2x^{2}-x^{2}+2\sqrt{3}x - 3 = 6$，
$x^{2}+2\sqrt{3}x - 9 = 0$.
设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$x_1+x_2=-2\sqrt{3}$，$x_1x_2=-9$.
根据弦长公式$|AB|=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2}$，其中$k=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则：
$|AB|=\sqrt{1 + (\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}}\cdot\sqrt{(-2\sqrt{3})^{2}-4\times(-9)}$
$=\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt{12 + 36}$
$=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{48}$
$=\frac{2}{\sqrt{3}}\times4\sqrt{3}=8$.

16. [2022·辽宁本溪二中高二期末]已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的离心率为$\sqrt{3}$，且$\frac{a^{2}}{c}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
(1)求双曲线$C$的方程；
(2)已知直线$x - y + m = 0$与双曲线$C$交于不同的两点$A,B$，且线段$AB$的中点在圆$x^{2}+y^{2}=5$上，求$m$的值.

答案：
(1)因为离心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}$，即$c=\sqrt{3}a$，又$\frac{a^{2}}{c}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$\frac{a^{2}}{\sqrt{3}a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$a = 1$.
$c=\sqrt{3}a=\sqrt{3}$，$b^{2}=c^{2}-a^{2}=3 - 1 = 2$.
所以双曲线$C$的方程为$x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$.
(2)联立直线与双曲线方程$\begin{cases}x - y + m = 0\\x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1\end{cases}$，由$x - y + m = 0$得$y=x + m$，代入$x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$得：
$x^{2}-\frac{(x + m)^{2}}{2}=1$，
$2x^{2}-(x^{2}+2mx + m^{2})=2$，
$2x^{2}-x^{2}-2mx - m^{2}-2 = 0$，
$x^{2}-2mx - m^{2}-2 = 0$.
设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$x_1+x_2 = 2m$，$y_1+y_2=x_1 + m+x_2 + m=x_1+x_2 + 2m = 4m$.
所以线段$AB$的中点坐标为$(m,2m)$.
因为线段$AB$的中点在圆$x^{2}+y^{2}=5$上，所以$m^{2}+(2m)^{2}=5$，$5m^{2}=5$，解得$m=\pm1$.