《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. 若直线$l_1:y = k(x - 4)$与直线$l_2$关于点$(2,1)$对称，则直线$l_2$经过定点 （ ）
A. $(0,4)$
B. $(0,2)$
C. $(-2,4)$
D. $(4,-2)$

答案： B

2. 直线$2x + 3y - 6 = 0$关于点$(1,1)$对称的直线方程为 （ ）
A. $3x - 2y + 2 = 0$
B. $2x + 3y + 7 = 0$
C. $3x - 2y - 12 = 0$
D. $2x + 3y - 4 = 0$

答案： D

3. 已知直线$l:x - y + 3 = 0$，则点$P(2,2)$关于$l$对称的点$P'$的坐标为 （ ）
A. $(1,3)$
B. $(-1,-1)$
C. $(-1,5)$
D. $(-2,-2)$

答案： C

4. 直线$x - 2y + 1 = 0$关于直线$y = 0$对称的直线方程是 （ ）
A. $x + 2y - 1 = 0$
B. $2x + y - 1 = 0$
C. $2x + y + 1 = 0$
D. $x + 2y + 1 = 0$

答案： D

5. 若一入射光线经过点$M(2,6)$，被直线$l:x - y + 3 = 0$反射，反射光线经过点$N(-3,4)$，则反射光线所在的直线方程为 （ ）
A. $2x - y + 13 = 0$
B. $6x - y + 22 = 0$
C. $x - 3y + 15 = 0$
D. $x - 6y + 27 = 0$

答案： D

6. 设$\triangle ABC$的一个顶点是$A(3,-1)$，$\angle B,\angle C$的平分线的方程分别是$x = 0,y = x$，则直线$BC$的方程是 （ ）
A. $y = 3x + 5$
B. $y = 2x + 3$
C. $y = 2x + 5$
D. $y = -\frac{x}{2}+\frac{5}{2}$

答案： C

7. 已知点$P(2,1),Q(a,b)$关于直线$x + y + 1 = 0$对称，则$a + b =$_______.

答案： -5

8. 已知点$P(-1,1)$与点$Q(3,5)$关于直线$l$对称，则直线$l$的方程为_______.

答案： x+y-4=0

9. $\triangle ABC$的一个内角的平分线所在直线方程是$y = 2x$，若$A(-4,2),B(3,1)$，则点$C$的坐标为_______.

答案： (2,4)

10. 如图，已知$A(4,0),B(0,4)$，从点$P(2,0)$射出的光线经直线$AB$反射后再射到直线$OB$上，最后经直线$OB$反射后又回到$P$点，则光线所经过的路程是_______.

答案： $2\sqrt {10}$

11. 将一张坐标纸折叠一次，使得点$(0,2)$与点$(4,0)$重合，点$(7,3)$与点$(m,n)$重合，则$m + n =$_______.

答案： $\frac {34}{5}$

12. [2023·广东顺德一中高二期中]已知$\triangle ABC$的顶点$B(4,2)$，边$BC$上的中线所在直线$l$的方程为$x - y - 3 = 0$，边$AB$所在直线方程为$2x - y - 6 = 0$. 求：
(1)点$A$的坐标；
(2)直线$AB$关于直线$l$对称的直线方程.

答案： 【解】
(1)由$\begin{cases}x - y - 3 = 0\\2x - y - 6 = 0\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 3\\y = 0\end{cases}$。 则$A(3,0)$。
(2)设点$B(4,2)$关于直线$l$的对称点为$B'(a,b)$， 则$\begin{cases}\frac{b - 2}{a - 4} = -1\\\frac{a + 4}{2}-\frac{b + 2}{2}-3 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 5\\b = 1\end{cases}$。 所以$B'(5,1)$。 则直线$AB'$的方程为$y - 0=\frac{1 - 0}{5 - 3}(x - 3)$，即$x - 2y - 3 = 0$，所以直线$AB$关于直线$l$对称的直线方程为$x - 2y - 3 = 0$。  

13. 已知点$A(-1,-4)$，试在$y$轴和直线$y = x$上各取一点$B,C$，使$\triangle ABC$的周长最小.

答案：
【解】如图，过点$A$作$y$轴的对称点$A_1(1,-4)$，作$y = x$的对称点$A_2(-4,-1)$， 连接$A_1A_2$，与$y$轴交于点$B$，与$y = x$交于点$C$， 则$\triangle ABC$的周长为$|AB|+|BC|+|AC|=|A_1B|+|BC|+|A_2C|=|A_1A_2|$，此时$\triangle ABC$的周长最小。 直线$A_1A_2$的方程为$y + 4=\frac{-4 + 1}{1 - (-4)}(x - 1)$， 即$3x + 5y + 17 = 0$， 此时点$B(0,-\frac{17}{5})$，点$C(-\frac{17}{8},-\frac{17}{8})$。