《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

11. 已知$A(-4,3)$,$B(2,5)$,$C(6,3)$,$D(-3,0)$四点,若顺次连接$A$,$B$,$C$,$D$四点,试判断四边形$ABCD$的形状.

答案： 【解】$A$，$B$，$C$，$D$四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得$k_{AB}=\frac{5 - 3}{2 - (-4)}=\frac{1}{3}$，$k_{CD}=\frac{0 - 3}{-3 - 6}=\frac{1}{3}$，$k_{AD}=\frac{0 - 3}{-3 - (-4)}=-3$，$k_{BC}=\frac{3 - 5}{6 - 2}=-\frac{1}{2}$. 所以$k_{AB}=k_{CD}$. 由图可知，$AB$与$CD$不重合，所以$AB\parallel CD$. 由$k_{AD}\neq k_{BC}$，可知$AD$与$BC$不平行. 又$k_{AB}\cdot k_{AD}=\frac{1}{3}\times(-3)=-1$，所以$AB\perp AD$. 故四边形$ABCD$为直角梯形.

12. 满足下列条件的两条直线$l_1$与$l_2$,其中可以推出$l_1// l_2$的条件是（ ）
①$l_1$的斜率为 2,$l_2$过点$A(1,2)$,$B(4,8)$;
②$l_1$经过点$P(3,3)$,$Q(-5,3)$,$l_2$平行于$x$轴,但不经过$P$点;
③$l_1$经过点$M(-1,0)$,$N(-5,-2)$,$l_2$经过点$R(-4,3)$,$S(0,5)$.
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③

答案： B

13. [2022·安徽皖北名校高二期中联考]已知直线$l_1$经过点$A(3,a)$,$B(a - 2,-3)$,直线$l_2$经过点$C(2,3)$,$D(-1,a - 2)$. 如果$l_1\perp l_2$,那么$a =$________.

答案： 5或-6

14. [2023·江苏宿迁高二期中]对于两条不重合的直线,“斜率相等”是“这两直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： A

15. 已知四边形$ABCD$的顶点$A(1,1)$,$B(3,-1)$,$C(4,0)$,$D(2,2)$,则四边形$ABCD$的形状为（ ）
A. 平行四边形
B. 菱形
C. 梯形
D. 矩形

答案： D

16.（多选）[2023·江苏泗阳实验高级中学高二阶段练习]已知等腰直角三角形$ABC$的直角顶点为$C(3,3)$,点$A$的坐标为$(0,4)$,则点$B$的坐标可能为（ ）
A. (2,0)
B. (6,4)
C. (4,6)
D. (0,2)

答案： AC

17. [2022·安徽合肥巢湖一中高二周练]已知直线$l_1$,$l_2$的斜率$k_1$,$k_2$是关于$k$的方程$2k^2 - 3k - b = 0$的两根. 若$l_1\perp l_2$,则$b =$________;若$l_1// l_2$,则$b =$________.

答案： 2  $-\frac {9}{8}$

18. 已知$M(1,-1)$,$N(2,2)$,$P(3,0)$.
(1)求点$Q$的坐标,满足$PQ\perp MN$,$PN// MQ$;
(2)若点$Q$在$x$轴上,且$\angle NQP = \angle NPQ$,求直线$MQ$的倾斜角.

答案： 【解】
(1)设$Q(x,y)$. 由已知条件得$k_{MN}=3$. 由$PQ\perp MN$，可得$k_{PQ}\cdot k_{MN}=-1$， 即$\frac{y}{x - 3}\times3=-1$. ① 由已知条件得$k_{PN}=-2$. 由$PN\parallel MQ$，可得$k_{PN}=k_{MQ}$，即$\frac{y + 1}{x - 1}=-2$. ② 联立①②，解得$x = 0$，$y = 1$，即$Q(0,1)$.
(2)设$Q(x,0)$. $\because\angle NQP=\angle NPQ$，$\therefore k_{NQ}=-k_{NP}$. 又$\because k_{NQ}=\frac{2}{2 - x}$，$k_{NP}=-2$， $\therefore\frac{2}{2 - x}=2$，即$x = 1$，$\therefore Q(1,0)$. $\because M(1,-1)$，$\therefore MQ\perp x$轴， 故直线$MQ$的倾斜角为$90^{\circ}$.