《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. 已知四面体 A - BCD 的所有棱长都等于 2，E 是棱 AB 的中点，F 是棱 CD 上靠近点 C 的四等分点，则$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{AC}$等于（ ）
A. $-\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $-\frac{5}{2}$
D. $\frac{5}{2}$

答案： D

2. [2023·河北石家庄第四十一中学高二阶段练习]已知$|\boldsymbol{a}| = 4$，空间向量$\boldsymbol{e}$为单位向量，$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{e}\rangle=\frac{2\pi}{3}$，则空间向量$\boldsymbol{a}$在向量$\boldsymbol{e}$方向上的投影的数量为（ ）
A. 2
B. -2
C. $-\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{2}$

答案： B

3.（多选）[2022·山东济宁汶上第一中学高二月考]设$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$为空间中的任意两个非零向量，则下列各式正确的有（ ）
A. $\boldsymbol{a}^{2}=|\boldsymbol{a}|^{2}$
B. $\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}}=\frac{\boldsymbol{b}}{\boldsymbol{a}}$
C. $(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})^{2}=\boldsymbol{a}^{2}\cdot\boldsymbol{b}^{2}$
D. $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{2}=\boldsymbol{a}^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}$

答案： AD

4. [2023·甘肃定西高二开学考试]空间四边形 OABC 中，$OB = OC$，$\angle AOB = \angle AOC = \frac{\pi}{3}$，则$\cos\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{BC}\rangle$的值是（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $-\frac{1}{2}$
D. 0

答案： D

5. [2023·广东广州秀全中学高二阶段练习]已知$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$都是空间向量，且$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{2\pi}{3}$，则$\langle 2\boldsymbol{a}, - 3\boldsymbol{b}\rangle=$（ ）
A. $\frac{\pi}{3}$
B. $\frac{\pi}{6}$
C. $\frac{2\pi}{3}$
D. $\frac{5\pi}{6}$

答案： C

6. [2022·贵州遵义高三开学考试]在正三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$AA_{1}=\sqrt{2}AB$，则异面直线$BA_{1}$与$AC_{1}$所成角的余弦值为________.

答案： $\frac{1}{4}$

7. [2022·湖南长沙高二期中]已知$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$均为空间单位向量，它们的夹角为$60^{\circ}$，那么$|\boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b}|$等于（ ）
A. $\sqrt{7}$
B. $\sqrt{10}$
C. $\sqrt{13}$
D. 4

答案： C

8. [2023·江苏镇江丹阳高级中学高三开学考试]四棱柱$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，侧棱长为 2，且$\angle C_{1}CB = \angle C_{1}CD = \angle BCD = 60^{\circ}$，则线段$A_{1}C$的长度是（ ）
A. $\sqrt{6}$
B. $\frac{\sqrt{34}}{2}$
C. 3
D. $\sqrt{11}$

答案： C

9. [2022·山东潍坊高密第三中学高二月考]如图，二面角$\alpha - l - \beta$为$60^{\circ}$，A，B 是棱$l$上的两点，AC，BD 分别在半平面$\alpha,\beta$内，$AC\perp l$，$BD\perp l$，且$AB = AC = 2$，$BD = 4$，则 CD 的长为________.

答案： $2\sqrt{3}$

10. 在棱长为 1 的正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{c}$，则$\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$的值为（ ）
A. 2
B. 1
C. -1
D. 0

答案： D

11. [2022·河南洛阳洛宁第一高级中学高二月考]如图，三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$的所有棱长都相等，$\angle A_{1}AB = \angle A_{1}AC = 60^{\circ}$，点 M 为$\triangle ABC$的重心，AM 的延长线交 BC 于点 N，连接$A_{1}M$，设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{c}$.
（1）用$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$表示$\overrightarrow{A_{1}M}$.
（2）证明：$A_{1}M\perp AB$.

答案： （1）$\overrightarrow{A_{1}M}=\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})-\boldsymbol{c}$；（2）证明过程：因为$\overrightarrow{A_{1}M}\cdot\overrightarrow{AB}=[\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})-\boldsymbol{c}]\cdot\boldsymbol{a}=\frac{1}{3}\boldsymbol{a}^{2}+\frac{1}{3}\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}$，设棱长为$m$，则$\boldsymbol{a}^{2}=m^{2}$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=m\times m\times\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}m^{2}$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=m\times m\times\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}m^{2}$，所以$\overrightarrow{A_{1}M}\cdot\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}m^{2}+\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}m^{2}-\frac{1}{2}m^{2}=0$，所以$A_{1}M\perp AB$