《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

1. [2023·广东潮州南春中学高二月考]下列命题为真命题的是（ ）
A. 向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BA}$的长度相等
B. 空间向量就是空间中的一条有向线段
C. 若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
D. 不相等的两个空间向量的模必不相等

答案： A

2. [2021·重庆南开中学高二月考]给出下列命题：
①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$，则$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$；
③在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，必有$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A_{1}C_{1}}$；
④若空间向量$\boldsymbol{m},\boldsymbol{n},\boldsymbol{p}$满足$\boldsymbol{m} = \boldsymbol{n},\boldsymbol{n} = \boldsymbol{p}$，则$\boldsymbol{m} = \boldsymbol{p}$.
其中正确命题的个数为（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

答案： C

3. [2022·北京大兴高二期末]
如图，在平行六面体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AA_{1}}=$（ ）

A. $\overrightarrow{AC_{1}}$
B. $\overrightarrow{A_{1}C}$
C. $\overrightarrow{D_{1}B}$
D. $\overrightarrow{DB_{1}}$

答案： C

4. [2021·吉林长春第二十中学高二期中]在空间四边形$ABCD$中，下列表达式的结果与$\overrightarrow{AB}$相等的是（ ）
A. $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$
B. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$
C. $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}$
D. $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC}$

答案： C

5. 如图，在四面体$OABC$中，$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$，点$M$在$OA$上，点$N$在$BC$上，且$OM = 2MA$，$BN = 2NC$，则$\overrightarrow{MN}=$（ ）

A. $-\frac{2}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol{b}+\frac{2}{3}\boldsymbol{c}$
B. $\frac{2}{3}\boldsymbol{a}-\frac{2}{3}\boldsymbol{b}+\frac{1}{3}\boldsymbol{c}$
C. $-\frac{2}{3}\boldsymbol{a}-\frac{1}{3}\boldsymbol{b}+\frac{2}{3}\boldsymbol{c}$
D. $\frac{2}{3}\boldsymbol{a}-\frac{2}{3}\boldsymbol{b}-\frac{1}{3}\boldsymbol{c}$

答案： A

6. 如图，在空间四边形$ABCD$中，已知$G$为$\triangle BCD$的重心，$E,F,H$分别为边$CD,AD$和$BC$的中点，化简下列各式：
(1)$\overrightarrow{AG}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$；
(2)$\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})$；
(3)$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$.

答案：
(1) $\overrightarrow{AG}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
因为$E$为$CD$中点，所以$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD})$
$\overrightarrow{AG}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD})-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
又因为$G$为$\triangle BCD$重心，则$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$
$\overrightarrow{AG}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BE}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})+\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD})-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD})-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD})-\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$
$=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})-\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AF}$
(2) $\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AH}$
(3) $\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{AG}$

7. [2022·北京东城高二期末]
如图，在长方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB = AD = 4$，$AA_{1} = 3$，点$E,F$分别在棱$BB_{1},B_{1}C_{1}$上，$\overrightarrow{EF}//\overrightarrow{AD_{1}}$，$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BB_{1}}$，则$|\overrightarrow{B_{1}F}|=$（ ）

A. 1
B. $\frac{4}{3}$
C. 2
D. $\frac{8}{3}$

答案： B

8. [2022·甘肃高台第一中学高二期中]对于空间任意一点$O$，以下条件可以判定点$P,A,B$共线的是________（填序号）.
①$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}(t\in\mathbf{R},t\neq0)$；
②$5\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}$；
③$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}-t\overrightarrow{AB}(t\in\mathbf{R},t\neq0)$；
④$\overrightarrow{OP}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}$.

答案： ①③