《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

13.已知直线$x - ay = 4$在$y$轴上的截距是2，则$a$等于________.

答案： -2

14. [2023·湖南常德高二期中]直线$Ax + By + C = 0$与圆$x^{2} + y^{2} = 4$相交于两点$M$，$N$. 若满足$C^{2} = A^{2} + B^{2}$，则$\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}$($O$为原点)等于________.

答案： -2

15. [2023·湖北新高考联盟学校高二联考]为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为$A$，$B$，$C$三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理$A$，$B$，$C$三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站$M$只能建在与$A$村相距5 km，且与$C$村相距$\sqrt{31}$ km的地方. 已知$B$村在$A$村的正东方，相距$3\sqrt{3}$ km，$C$村在$B$村的正北方，相距3 km，则垃圾处理站$M$与$B$村相距________ km.

答案： $2\sqrt {13}或\sqrt {7}$

16. [2022·福建福州第一中学高二期中]如图，点$P$是$\odot O$：$x^{2} + y^{2} = 1$上一动点，过点$P$的圆$O$的切线$l$与$\odot O_{1}$：$(x - a)^{2} + (y - 2)^{2} = 16$始终交于$A$，$B$两点.
(1)实数$a$的取值范围是________；
(2)若$a = \frac{3}{2}$，$|O_{1}P| = \frac{\sqrt{39}}{2}$，则$\triangle O_{1}AB$的面积是________.

答案： $(-\sqrt {5},-\sqrt {5})$
$\frac {45\sqrt {7}}{16}$

17. (本小题满分10分)已知两条直线$l_{1}:ax - by + 4 = 0$和$l_{2}:(a - 1)x + y + b = 0$，求满足下列条件的$a$，$b$的值.
(1)$l_{1}\perp l_{2}$且$l_{1}$过点$(-3,-1)$；
(2)$l_{1}// l_{2}$，且原点到这两条直线的距离相等.

答案： 【解】
(1)$\because l_{1}\perp l_{2}$，$\therefore a(a - 1) - b = 0$。① 又$l_{1}$过点$(-3,-1)$，$\therefore - 3a + b + 4 = 0$。② 由①②得$a = 2$，$b = 2$。
(2)$\because l_{2}$的斜率存在，$l_{1}\parallel l_{2}$，$\therefore$直线$l_{1}$的斜率存在。 $\therefore k_{1} = k_{2}$，即$\frac{a}{b} = 1 - a$。③ $\because$原点到这两条直线的距离相等， $\therefore l_{1}$，$l_{2}$在$y$轴上的截距互为相反数，即$\frac{4}{b} = - ( - b)$。④ 由③④得$\begin{cases}a = 2\\b = - 2\end{cases}$或$\begin{cases}a = \frac{2}{3}\\b = 2\end{cases}$， 经检验，此时的$l_{1}$与$l_{2}$不重合， 故所求值为$\begin{cases}a = 2\\b = - 2\end{cases}$或$\begin{cases}a = \frac{2}{3}\\b = 2\end{cases}$。 

18. (本小题满分12分)求圆心在圆$(x - \frac{3}{2})^{2} + y^{2} = 2$上，且与$x$轴和直线$x = -\frac{1}{2}$都相切的圆的方程.

答案： 【解】设所求圆的圆心坐标为$(a,b)$，半径为$r$。 因为圆$(x - \frac{3}{2})^{2} + y^{2} = 2$在直线$x = - \frac{1}{2}$的右侧，且所求的圆与$x$轴和直线$x = - \frac{1}{2}$都相切， 所以$a > - \frac{1}{2}$，所以$r = a + \frac{1}{2}$，且$r = |b|$。 又圆心$(a,b)$在圆$(x - \frac{3}{2})^{2} + y^{2} = 2$上， 所以$(a - \frac{3}{2})^{2} + b^{2} = 2$。 联立成方程组$\begin{cases}r = a + \frac{1}{2}\\r = |b|\\(a - \frac{3}{2})^{2} + b^{2} = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = \frac{1}{2}\\r = 1\\b = \pm 1\end{cases}$， 所以所求圆的方程是$(x - \frac{1}{2})^{2} + (y - 1)^{2} = 1$或$(x - \frac{1}{2})^{2} + (y + 1)^{2} = 1$。 

19. (本小题满分12分)[2023·广东肇庆高二月考]已知圆$C$关于直线$x + y + 2 = 0$对称，且过点$P(-2,2)$和原点$O$.
(1)求圆$C$的方程；
(2)相互垂直的两条直线$l_{1}$，$l_{2}$都过点$A(-1,0)$，若$l_{1}$，$l_{2}$被圆$C$所截得的弦长相等，求此时直线$l_{1}$的方程.

答案： 【解】
(1)由题意知，直线$x + y + 2 = 0$过圆$C$的圆心，则设圆心为$C(a,-a - 2)$， 所以$(a + 2)^{2} + (-a - 2 - 2)^{2} = a^{2} + (-a - 2)^{2}$，解得$a = - 2$。 所以圆心为$C(-2,0)$，半径$r = 2$， 所以圆$C$的方程为$(x + 2)^{2} + y^{2} = 4$。
(2)由题意知，直线$l_{1}$，$l_{2}$的斜率存在且不为$0$。 设$l_{1}$的斜率为$k$，则$l_{2}$的斜率为$-\frac{1}{k}$， 所以$l_{1}:y = k(x + 1)$，即$kx - y + k = 0$， $l_{2}:y = - \frac{1}{k}(x + 1)$，即$x + ky + 1 = 0$。 由题意，得圆心$C$到直线$l_{1}$，$l_{2}$的距离相等， 所以$\frac{|-2k + k|}{\sqrt{k^{2} + 1}} = \frac{|-2 + 1|}{\sqrt{k^{2} + 1}}$，解得$k = \pm 1$， 所以直线$l_{1}$的方程为$x - y + 1 = 0$或$x + y + 1 = 0$。