《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

5. [2022·江苏苏州高二期中]在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为$2\sqrt{2}$的圆 C 与直线 y = x 相切于原点 O.
(1)求圆 C 的方程.
(2)试探求 C 上是否存在异于原点的点 Q，使点 Q 到定点 F(4,0)的距离等于线段 OF 的长？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 【解】
(1)设圆 C 的圆心为 C(a,b)， 则圆 C 的方程为(x - a)\(^{2}+(y - b)^{2}=8\).
∵直线 y = x 与圆 C 相切于原点 O，
∴点 O 在圆 C 上，且 OC 垂直于直线 y = x， 于是有\(\begin{cases}a^{2}+b^{2}=8 \\ \frac{b}{a}=-1 \end{cases}\)，解得\(\begin{cases}a = 2 \\ b = -2 \end{cases}\)或\(\begin{cases}a = -2 \\ b = 2 \end{cases}\). 由于点 C(a,b)在第二象限，故 a<0，b>0，
∴圆 C 的方程为(x + 2)\(^{2}+(y - 2)^{2}=8\).
(2)假设存在符合要求的点 Q. 设 Q(x,y)，则有\(\begin{cases}(x - 4)^{2}+y^{2}=16 \\ (x + 2)^{2}+(y - 2)^{2}=8 \end{cases}\)， 解得\(\begin{cases}x = \frac{4}{5} \\ y = \frac{12}{5} \end{cases}\)或\(\begin{cases}x = 0 \\ y = 0 \end{cases}\)(舍去)，
∴存在点 Q(\(\frac{4}{5}\),\(\frac{12}{5}\))，使 Q 到定点 F(4,0)的距离等于线段 OF 的长. 

6. 已知圆 C 的圆心在直线 3x - y = 0 上，圆 C 与 x 轴正半轴相切，且被直线 l：x - y = 0 截得的弦长为$2\sqrt{7}$.
(1)求圆 C 的方程.
(2)设点 A 在圆 C 上运动，点 B(7,6)，且点 M 满足$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$，记点 M 的轨迹为 Γ.
①求 Γ 的方程，并说明 Γ 是什么图形.
②试探究在直线 l 上是否存在定点 T(异于原点 O)，使得对于 Γ 上任意一点 P，都有$\frac{|PO|}{|PT|}$为一常数？若存在，求出所有满足条件的点 T 的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 【解】
(1)设圆心 C(t,3t)，则由圆 C 与 x 轴相切，可得半径 r = 3|t|.
∵圆心 C 到直线 l 的距离 d = \(\frac{|t - 3t|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}|t|\)，
∴7 + 2\(t^{2}=r^{2}\)，解得 t = ±1. 故圆心 C(1,3)或 C(-1,-3)，半径 r = 3.
∵圆 C 与 x 轴正半轴相切，
∴圆心 C(1,3). 故圆 C 的方程为(x - 1)\(^{2}+(y - 3)^{2}=9\).
(2)①设 M(x,y)，则\(\overrightarrow{AM}=(x - x_{A},y - y_{A})\)，\(\overrightarrow{MB}=(7 - x,6 - y)\).
∵\(\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}\)，
∴\(\begin{cases}x - x_{A}=14 - 2x \\ y - y_{A}=12 - 2y \end{cases}\)，
∴\(\begin{cases}x_{A}=-14 + 3x \\ y_{A}=-12 + 3y \end{cases}\).
∵点 A 在圆 C 上运动，
∴(3x - 14 - 1)\(^{2}+(3y - 12 - 3)^{2}=9\)，即(x - 5)\(^{2}+(y - 5)^{2}=1\)，
∴点 M 的轨迹方程为(x - 5)\(^{2}+(y - 5)^{2}=1\)， 它是一个以点(5,5)为圆心，1 为半径的圆. ②假设存在定点 T(m,m)满足条件， 设 P(x,y)，则\(\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{(x - m)^{2}+(y - m)^{2}}}=\lambda\)， 整理，得\(x^{2}+y^{2}=\lambda^{2}(x^{2}-2mx + m^{2}+y^{2}-2my + m^{2})\).
∵点 P 在轨迹\(\Gamma\)上，
∴(x - 5)\(^{2}+(y - 5)^{2}=1\)， 化简，得\(x^{2}+y^{2}=10x + 10y - 49\).
∴x(10 - 10\(\lambda^{2}+2m\lambda^{2}\))+y(10 - 10\(\lambda^{2}+2m\lambda^{2}\))-49 + 49\(\lambda^{2}-2\lambda^{2}m^{2}=0\)，
∴\(\begin{cases}10 - 10\lambda^{2}+2m\lambda^{2}=0 \\ 49\lambda^{2}-2\lambda^{2}m^{2}=49 \end{cases}\)，解得 m = \(\frac{49}{10}\).
∴在直线 l 上存在定点 T(\(\frac{49}{10}\),\(\frac{49}{10}\))满足题意.