《2025年练习生高中数学选择性必修第一册人教A版》

17. 与椭圆$C:\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{12}=1$共焦点且过点$(1,\sqrt{3})$的双曲线的标准方程为_______.

答案： $\frac{y^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{2}=1$

18. [2022·辽宁沈阳东北育才学校高二期中]如图，$F$为双曲线$C:\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的左焦点，双曲线上的点$P_i$与点$P_{7 - i}(i = 1,2,3)$关于$y$轴对称，则$|P_1F|+|P_2F|+|P_3F|-|P_4F|-|P_5F|-|P_6F| =$_______.

答案： 18

19. [2022·陕西延安黄陵中学高二期中]如图，圆$E:(x + 2)^{2}+y^{2}=4$，点$F(2,0)$，动圆$P$过点$F$，且与圆$E$内切于点$M$，则动圆$P$的圆心$P$的轨迹方程为_______.

答案： $\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{3}=1(x\leq - 1)$

20. [2023·甘肃定西临洮中学高二月考]已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，点$P$为双曲线上一点，且点$P$在第一象限，$|PF_1| = 3|PF_2|$.
（1）求$\angle F_1PF_2$的正弦值；
（2）求点$P$的纵坐标.

答案： （1）由双曲线方程$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$，得$a = 4$，$b = 3$，$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}} = 5$.
因为点$P$在双曲线上，所以$|PF_1|-|PF_2| = 2a = 8$.
又$|PF_1| = 3|PF_2|$，所以$3|PF_2|-|PF_2| = 8$，解得$|PF_2| = 4$，则$|PF_1| = 12$.
在$\triangle PF_1F_2$中，$|F_1F_2| = 2c = 10$，由余弦定理得$\cos\angle F_1PF_2=\frac{|PF_1|^{2}+|PF_2|^{2}-|F_1F_2|^{2}}{2|PF_1|\cdot|PF_2|}=\frac{12^{2}+4^{2}-10^{2}}{2\times12\times4}=\frac{5}{8}$.
因为$\angle F_1PF_2\in(0,\pi)$，所以$\sin\angle F_1PF_2=\sqrt{1-\cos^{2}\angle F_1PF_2}=\sqrt{1 - (\frac{5}{8})^{2}}=\frac{\sqrt{39}}{8}$.
（2）设点$P$的纵坐标为$y_P$，则$S_{\triangle PF_1F_2}=\frac{1}{2}|PF_1|\cdot|PF_2|\cdot\sin\angle F_1PF_2=\frac{1}{2}|F_1F_2|\cdot|y_P|$.
即$\frac{1}{2}\times12\times4\times\frac{\sqrt{39}}{8}=\frac{1}{2}\times10\times|y_P|$，解得$|y_P|=\frac{3\sqrt{39}}{5}$.
因为点$P$在第一象限，所以$y_P=\frac{3\sqrt{39}}{5}$.

21. [2023·江西宜春上高二中高二月考]如图，已知双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，点$P$在双曲线的右支上，$\triangle PF_1F_2$的内切圆圆心为$I$.
（1）求点$I$的横坐标；
（2）若$\triangle PIF_1,\triangle PIF_2,\triangle F_1IF_2$的面积满足$S_{\triangle PIF_1}=S_{\triangle PIF_2}+\lambda S_{\triangle F_1IF_2}$，求$\lambda$的值.

答案： （1）设$\triangle PF_1F_2$的内切圆与$PF_1,PF_2,F_1F_2$分别相切于点$A,B,C$，
则$|PA| = |PB|$，$|F_1A| = |F_1C|$，$|F_2B| = |F_2C|$.
因为点$P$在双曲线的右支上，所以$|PF_1|-|PF_2| = 2a = 2$.
又$|PF_1|-|PF_2|=(|PA|+|F_1A|)-(|PB|+|F_2B|)=|F_1C|-|F_2C| = 2$.
设点$I$的横坐标为$x$，则$F_1(-2,0)$，$F_2(2,0)$，$|F_1C| = x + 2$，$|F_2C| = 2 - x$，
所以$(x + 2)-(2 - x)=2$，解得$x = 1$.
即点$I$的横坐标为 1.
（2）因为$S_{\triangle PIF_1}=\frac{1}{2}|PF_1|\cdot r$，$S_{\triangle PIF_2}=\frac{1}{2}|PF_2|\cdot r$，$S_{\triangle F_1IF_2}=\frac{1}{2}|F_1F_2|\cdot r$（$r$为内切圆半径），
且$S_{\triangle PIF_1}=S_{\triangle PIF_2}+\lambda S_{\triangle F_1IF_2}$，
所以$\frac{1}{2}|PF_1|\cdot r=\frac{1}{2}|PF_2|\cdot r+\lambda\times\frac{1}{2}|F_1F_2|\cdot r$，
即$|PF_1| = |PF_2|+\lambda|F_1F_2|$.
又$|PF_1|-|PF_2| = 2a = 2$，$|F_1F_2| = 2c = 4$，
所以$2=\lambda\times4$，解得$\lambda=\frac{1}{2}$.

22. 已知$F_1,F_2$分别是双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点，经过$F_2$且倾斜角为$\frac{\pi}{6}$的直线$l$与直线$l_0:bx - ay = 0$平行，且$F_1$到直线$l_0$的距离为$\sqrt{3}$.
（1）求双曲线$C$的方程；
（2）若$(2c)^{2}=2am(m\in\mathbf{R})$，点$P$为双曲线右支上一点，且$|PF_2|=\frac{3}{8}m$，求点$P$的坐标.

答案： （1）由直线$l$的倾斜角为$\frac{\pi}{6}$，可得直线$l$的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
因为直线$l$与直线$l_0:bx - ay = 0$平行，所以$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$a=\sqrt{3}b$.
又$F_1(-c,0)$到直线$l_0:bx - ay = 0$的距离为$\sqrt{3}$，根据点到直线的距离公式$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$，可得$\frac{|-bc|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\sqrt{3}$.
因为$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，所以$\frac{bc}{c}=b=\sqrt{3}$，则$a = 3$.
所以双曲线$C$的方程为$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{3}=1$.
（2）由（1）知$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{9 + 3}=2\sqrt{3}$，则$(2c)^{2}=48$.
因为$(2c)^{2}=2am$，所以$48 = 2\times3m$，解得$m = 8$.
所以$|PF_2|=\frac{3}{8}\times8 = 3$.
由双曲线的定义知$|PF_1|-|PF_2| = 2a = 6$，所以$|PF_1| = 9$.
设点$P(x,y)$，在$\triangle PF_1F_2$中，由余弦定理得$\cos\angle PF_2F_1=\frac{|PF_2|^{2}+|F_1F_2|^{2}-|PF_1|^{2}}{2|PF_2|\cdot|F_1F_2|}=\frac{3^{2}+(4\sqrt{3})^{2}-9^{2}}{2\times3\times4\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
则$\sin\angle PF_2F_1=\sqrt{1-\cos^{2}\angle PF_2F_1}=\sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.
所以$S_{\triangle PF_1F_2}=\frac{1}{2}|PF_2|\cdot|F_1F_2|\cdot\sin\angle PF_2F_1=\frac{1}{2}\times3\times4\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{6}}{3}=6\sqrt{2}$.
又$S_{\triangle PF_1F_2}=\frac{1}{2}|F_1F_2|\cdot|y|$，所以$\frac{1}{2}\times4\sqrt{3}\times|y| = 6\sqrt{2}$，解得$|y|=\sqrt{6}$.
将$y=\pm\sqrt{6}$代入双曲线方程$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{3}=1$，得$\frac{x^{2}}{9}-\frac{6}{3}=1$，解得$x=\pm3\sqrt{3}$.
因为点$P$在双曲线右支上，所以$x = 3\sqrt{3}$.
所以点$P$的坐标为$(3\sqrt{3},\pm\sqrt{6})$.