《2025年5年高考3年模拟高中物理必修第二册人教版江苏专版》

5. (2025 浙江温州模拟) “食双星” 是特殊的双星系统,由两颗亮度不同的恒星组成,它们在万有引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动,且轨道平面与观测者视线方向几乎平行。由于两颗恒星相互遮挡,造成观测者观察到双星的亮度 $L$ 发生周期性变化,如图所示。若较亮的恒星和较暗的恒星轨道半径分别为 $r_1$ 和 $r_2$($r_1$ 和 $r_2$ 远小于该双星系统到观测者的距离),不计其他星体对两恒星的影响。下列说法正确的是 (B)


A.$t_2$ 时刻,较亮的恒星遮挡住较暗的恒星
B.较亮的恒星与较暗的恒星质量之比为$\frac{r_2}{r_1}$
C.两颗恒星做匀速圆周运动的周期均为$(t_2 - t_1)$
D.较亮的恒星线速度与较暗的恒星线速度之比为$\sqrt{\frac{r_1}{r_2}}$

答案：
5.B
　　题图解读
　
较亮的恒星遮挡较暗的恒星,观察者看到的亮度变化不明显
较暗的恒星遮挡较亮的恒星,观察者看到的亮度变化明显
由题意可知,$t_{1}$时刻,较亮的恒星遮挡住较暗的恒星,$t_{2}$时刻较暗的恒星遮挡住较亮的恒星,即$t_{1}\sim t_{2}$时间里,星体转了半圈,周期为$T=2(t_{2}-t_{1})$,A、C错误;设较亮的恒星和较暗的恒星的质量分别为$m_{1}$和$m_{2}$,由彼此间的万有引力提供向心力,故两颗恒星的向心力大小相等,有$G\frac{m_{1}m_{2}}{(r_{1}+r_{2})^{2}}=m_{1}\omega^{2}r_{1}=m_{2}\omega^{2}r_{2}$,解得$\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{r_{2}}{r_{1}}$,B正确;设较亮的恒星和较暗的恒星的速度大小分别为$v_{1}$和$v_{2}$,根据$v=r\omega$,因为角速度相等,解得$\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{\omega r_{1}}{\omega r_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}$,D错误。

6. (2025 江苏扬州中学期中) 某行星的卫星 $A$、$B$ 绕以该行星为焦点的椭圆轨道运行,作用于 $A$、$B$ 的引力随时间的变化如图所示,其中$t_2 = \sqrt{2} t_1$,行星到卫星 $A$、$B$ 轨道上点的距离分别记为$r_A$、$r_B$,假设 $A$、$B$ 只受到行星的引力,下列说法正确的是 (B)


A.$A$、$B$ 与 $A$ 的绕行周期之比为$\sqrt{2}:1$
B.$r_A$ 的最大值与$r_B$ 的最小值之比为 $4:3$
C.$r_A$ 的最小值与$r_B$ 的最大值之比为 $1:3$
D.卫星 $A$ 与卫星 $B$ 的质量之比为 $16:27$

答案： 6.B 由图像可知,卫星A的周期为$T_{A}=t_{1}$,卫星B的周期为$T_{B}=2t_{2}$,其中$t_{2}=\sqrt{2}t_{1}$,故B与A绕行周期之比$\frac{T_{B}}{T_{A}}=\frac{2t_{2}}{t_{1}}=\frac{2\sqrt{2}}{1}$,故A错误。由图像可知,当$r_{B}$最小时,卫星B受到的万有引力最大,有$9F=G\frac{Mm_{B}}{r_{Bmin}^{2}}$,当$r_{B}$最大时,卫星B受到的万有引力最小,有$F=G\frac{Mm_{B}}{r_{Bmax}^{2}}$;当$r_{A}$最小时,卫星A受到的万有引力最大,有$8F=G\frac{Mm_{A}}{r_{Amin}^{2}}$,当$r_{A}$最大时,卫星A受到的万有引力最小,有$2F=G\frac{Mm_{A}}{r_{Amax}^{2}}$,根据开普勒第三定律可得$\frac{T_{B}^{2}}{T_{A}^{2}}=\frac{(r_{Bmin}+r_{Bmax})^{3}}{(r_{Amin}+r_{Amax})^{3}}$,联立解得$\frac{m_{A}}{m_{B}}=\frac{32}{81}· \frac{r_{Amax}}{r_{Bmin}}=\frac{4}{3}· \frac{r_{Amin}}{r_{Bmax}}=\frac{2}{9}$,故B正确,C、D错误。

7. (2025 江苏苏州实验高级中学月考) 万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有一致性。
用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量,随称量时所处位置的不同结果可能会有所不同。已知地球质量为 $M$,自转周期为 $T$,引力常量为 $G$。将地球视为半径为 $R$、质量均匀分布的球体,不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时,弹簧测力计的读数是 $F_0$。
(1) 若在北极上空高出地面 $h$ 处称量,弹簧测力计读数为 $F_1$,求$\frac{F_1}{F_0}$的表达式:
(2) 若在赤道地面称量,弹簧测力计读数为 $F_2$,求$\frac{F_2}{F_0}$的表达式;
(3) 设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径 $r$、太阳半径 $R_s$ 和地球半径 $R$ 三者均减小为现在的 $1.0\%$,而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳和地球之间的相互作用,以现实地球的 $1$ 年为标准,计算 “设想地球” 的一年将变为多长?

答案： 7.答案　
(1)$\frac{F_{1}}{F_{0}}=(\frac{R}{R+h})^{2}$　
(2)$\frac{F_{2}}{F_{0}}=1-\frac{4\pi^{2}R^{3}}{GMT^{2}}$　
(3)1年
　解析　
(1)设小物体的质量为$m$,在北极地面有$F_{0}=G\frac{Mm}{R^{2}}$(点拨:物体不随地球自转,向心力为零,重力大小等于$F_{0}$)
　在北极上空高出地面$h$处,有$F_{1}=G\frac{Mm}{(R+h)^{2}}$
　整理可得$\frac{F_{1}}{F_{0}}=(\frac{R}{R+h})^{2}$
(2)在赤道地面,小物体随地球自转做匀速圆周运动,有$G\frac{Mm}{R^{2}}-F_{2}=m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}R$
　联立解得$\frac{F_{2}}{F_{0}}=1-\frac{4\pi^{2}R^{3}}{GMT^{2}}$
(3)地球绕太阳做匀速圆周运动,受太阳的万有引力。设太阳的质量为$M_{s}$,太阳的密度为$\rho$,地球的质量为$M$,地球的公转周期为$T_{0}$,有$G\frac{M_{s}M}{r^{2}}=M\frac{4\pi^{2}}{T_{0}^{2}}r$
　因为太阳质量$M_{s}=\frac{4}{3}\pi R_{s}^{3}\rho$
　联立解得$T_{0}=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}(\frac{r}{R_{s}})^{3}}$
　由上式可知,地球公转周期$T_{0}$仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关。因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同。
方法创新
　　“用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量时所处位置的不同结果可能会有不同”,其原因是在地球(理想球体)上任意位置万有引力大小相同，但不同位置的向心力不同，物体的重力不同。在地球的两极，万有引力等于重力;在赤道上，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力。