《2025年5年高考3年模拟高中物理必修第二册人教版江苏专版》

5.在宇宙中，单独存在的恒星占少数，更多的是双星、三星甚至多星系统。如图所示为一个简化的直线三星系统模型：三个星球的质量均为$m$,$a$、$b$ 两个星球绕处于二者连线中点的星球$c$ 做半径为$r$ 的匀速圆周运动。已知引力常量为$G$,忽略其他星体对它们的引力作用，则下列说法正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(C)


A.星球$a$ 做匀速圆周运动的向心加速度大小为$\frac{2 G m}{r^2}$
B.星球$a$ 做匀速圆周运动的线速度大小为$\sqrt{\frac{G m}{r}}$
C.星球$b$ 做匀速圆周运动的周期为$4 \pi \sqrt{\frac{r^3}{5 G m}}$
D.若因某种原因，星球$c$ 的质量缓慢减小，则星球$a$、$b$ 的线速度均将缓慢增大

答案： 5.C 对于星球$a$，星球$b$、$c$对其的万有引力的合力提供向心力，可得$\frac{Gm^2}{r^2}+G\frac{m^2}{(2r)^2}=ma_n$，故向心加速度大小为$a_n =\frac{5Gm}{4r^2}$；根据$a_n =\frac{v^2}{r}$，可得星球$a$的线速度大小为$v =\sqrt{\frac{5Gm}{4r}}$，A、B错误。根据$a_n =\frac{4\pi^2}{T^2}r$，可得星球$a$的运动周期为$T = 4\pi\sqrt{\frac{r^3}{5Gm}}$，由题意可知$a$与$b$的运行周期相同，故C正确。若因某种原因，星球$c$的质量缓慢减小，则星球$a$、$b$受到的引力将减小，会做离心运动，线速度将缓慢减小，D错误。

6.(2024 湖北武汉武昌中学月考)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统简化为如图所示模型，质量相等的三颗星体位于边长为$l$ 的等边三角形$ABC$ 的三个顶点上，三颗星体绕同一点做周期为$T$ 的匀速圆周运动。已知引力常量为$G$,不计其他天体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法中正确的是　　(D)


A.三颗星体做圆周运动的向心力相同
B.三颗星体的质量均为$\frac{4 \sqrt{3} \pi^2 l^3}{3 G T^2}$
C.三颗星体的自转角速度相同
D.三颗星体的线速度大小均为$\frac{2 \sqrt{3} \pi l}{3 T}$

答案：
6.D 模型建构
三颗星体以等边三角形$ABC$的中心为圆心、沿三角形的外接圆做匀速圆周运动，轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，如图所示。

由于向心力是矢量，三颗星体做圆周运动的向心力大小相等，方向不同，A错误；根据题意可知三颗星的质量相同，设为$M$，根据牛顿第二定律有$F_{向}=2×\frac{GM^2}{l^2}\cos 30^{\circ}=M\frac{4\pi^2}{T^2}r$，根据几何关系可知$r =\frac{\sqrt{3}}{3}l$，解得$M =\frac{4\pi^2 l^3}{3GT^2}$，故B错误；根据牛顿第二定律有$2×\frac{GM^2}{l^2}\cos 30^{\circ}=M\frac{v^2}{r}$，解得线速度大小为$v =\frac{2\sqrt{3}\pi l}{3T}$，D正确；根据公转周期可以计算公转角速度，不能计算自转角速度，C错误。

7.(2025 山东济南模拟)太空中存在离其他恒星系统很远、由四颗星体组成的四星系统，其他星体对它们的引力作用可忽略。稳定的四星系统有两种构成形式，其中一种是三角形，如图所示，假设三颗质量均为$m$ 的星体$A$、$B$、$C$ 分别位于等边三角形的顶点，一颗质量为$M$ 的星体$D$ 位于等边三角形的中心处，等边三角形的边长为$a$,引力常量为$G$。以星体$D$ 为参考系，下列说法正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　(D)


A.该稳定系统中$A$、$B$、$C$、$D$ 均做匀速圆周运动
B.$A$ 做圆周运动的半径为$\frac{\sqrt{3}}{2} a$
C.$B$ 做圆周运动的向心力大小为$\frac{\sqrt{3} G m^2}{a^2}$
D.$C$ 做圆周运动的线速度大小为$\sqrt{\frac{G(m + \sqrt{3} M)}{a}}$

答案： 7.D 该稳定四星系统中，A、B、C均绕D做匀速圆周运动，A错误；A、B、C做圆周运动的向心力由各星体所受万有引力的合力提供，$F_n = 2\frac{Gm^2}{a^2}\cos 30^{\circ}+\frac{GmM}{r^2}$，$r =\frac{\sqrt{3}}{3}a$，解得$F_n =\frac{\sqrt{3}Gm(m + \sqrt{3}M)}{a^2}$，B、C错误；根据$F_n =\frac{mv^2}{r}$，解得$v =\sqrt{\frac{G(m + \sqrt{3}M)}{a}}$，D正确。

8.(2024 黑龙江佳木斯期中)宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设每颗星体的质量均为$m$,四颗星稳定分布在边长为$a$ 的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为$G$。则下列说法不正确的是 (D)

A.星体做圆周运动的轨道半径为$r = \frac{\sqrt{2}}{2} a$
B.若实验观测得到星体的半径为$R$,则星体表面的重力加速度为$g = G \frac{m}{R^2}$
C.星体做圆周运动的周期为$T = 2 \pi a \sqrt{\frac{\sqrt{2} a}{(1 + 2 \sqrt{2}) G m}}$
D.星体做圆周运动的向心力大小为$G \frac{m^2}{(\sqrt{2} a)^2}$

答案：
8.D 模型建构
四颗星稳定分布在边长为$a$的正方形的四个顶点上，以正方形对角线的交点$O$为圆心、以顶点到对角线的交点的距离为半径做匀速圆周运动，其他三颗星体的万有引力的合力提供向心力，如图所示。

根据几何关系可得，星体做圆周运动的半径$r = a\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，故A正确。物体在星体表面所受的重力等于星体对其施加的万有引力，设物体的质量为$m_0$，则有$m_0g = G\frac{mm_0}{R^2}$，解得$g = G\frac{m}{R^2}$，故B正确。任意一颗星体都受到其他三颗星体的引力作用，根据对称性可知每颗星体所受引力的合力大小相等，且指向对角线的交点$O$，所受万有引力的合力大小为$F_{合}= G\frac{m^2}{(\sqrt{2}a)^2}+G\frac{m^2}{a^2}\cos 45^{\circ}×2 =\frac{(1 + 2\sqrt{2})Gm^2}{2a^2}$；星体做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有$F_{合}= m\frac{4\pi^2}{T^2}r =\frac{4\sqrt{2}\pi^2 ma}{T^2}$，联立可得$T =\sqrt{\frac{4\sqrt{2}\pi^2 a^3}{(1 + 2\sqrt{2})Gm}}= 2\pi a\sqrt{\frac{\sqrt{2}a}{(1 + 2\sqrt{2})Gm}}$，故C正确，D错误。