《2025年5年高考3年模拟高中物理必修第二册人教版江苏专版》

5.(2025河南南阳期中)如图所示，半径$R_1=1\mathrm{m}$的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，圆弧轨道的端点$B$和圆心$O$的连线与水平方向的夹角$\theta=30°$，$C$点为圆弧轨道的最低点。质量$m=1\mathrm{kg}$的物块从平台上$A$点以$v_0=2\mathrm{m/s}$的速度水平抛出，恰好从轨道的端点$B$沿切线方向进入轨道，物块沿着轨道$BC$运动到粗糙的水平面$CD$上(物块经过$C$点前后速度不变)，最后从$D$点做平抛运动，落到半径$R_2=2\mathrm{m}$的$\frac{1}{4}$圆弧轨道$EG$(圆心为$D$)上的$P$点(图上未画出)。已知物块与水平面$CD$之间的动摩擦因数$\mu=0.5$，$C$、$D$点间的距离$L=3.6\mathrm{m}$，重力加速度大小$g=10\mathrm{m/s^2}$。
(1)求物块在$B$点的速度大小以及从$A$点运动到$B$点的水平位移大小；
(2)求物块经过$B$点时轨道对物块的支持力大小；
(3)已知物块在圆弧$BC$的最低点对轨道的压力大小$F=56\mathrm{N}$，求$P$点到$D$点的竖直距离。

答案：
5.答案　
(1)$4\mathrm{m/s}$ $\frac{2\sqrt{3}}{5}\mathrm{m}$
(2)$11\mathrm{N}$
(3)$(\sqrt{5}-1)\mathrm{m}$
模型建构

解析　
(1)由题意得，物块在$B$点的速度与竖直方向的夹角为$30°$，则$v_B=\frac{v_0}{\sin30°}=4\mathrm{m/s}$
设物块从$A$点到$B$点所用的时间为$t_1$，则$\frac{v_0}{\tan30°}=gt_1$
所以$t_1=\frac{\sqrt{3}}{5}\mathrm{s}$
物块从$A$点到$B$点的水平位移$x = v_0t_1=\frac{2\sqrt{3}}{5}\mathrm{m}$
(2)对物块在$B$点时受力分析，根据牛顿第二定律有$mg\sin30° + F_N = m\frac{v_B^2}{R_1}$
解得$F_N = 11\mathrm{N}$
(3)物块在$C$点，有$F_N'-mg = m\frac{v_C^2}{R_1}$
根据牛顿第三定律可知，物块在圆弧$BC$的最低点时，轨道对物块的支持力大小等于物块对轨道压力大小，即$F_N' = F = 56\mathrm{N}$
所以$v_C = \sqrt{46}\mathrm{m/s}$
物块从$C$点到$D$点做匀减速直线运动，加速度大小为$a = \frac{\mu mg}{m}=5\mathrm{m/s^2}$
根据运动学公式可得$-2aL = v_D^2 - v_C^2$
可得$v_D = \sqrt{10}\mathrm{m/s}$
物块从$D$点飞出后做平抛运动，水平方向有$x = v_Dt$
竖直方向有$y = \frac{1}{2}gt^2$
由几何知识有$x^2 + y^2 = R_2^2$
联立解得$P$点到$D$点的竖直距离$y = (\sqrt{5}-1)\mathrm{m}$

6.(2024吉林长春第二实验中学月考)
一转动装置如图甲所示，两根足够长轻杆$OA$、$OB$固定在竖直轻质转轴上的$O$点，两轻杆与转轴的夹角均为$30°$。小球$a$、$b$分别套在两杆上，小环$c$套在转轴上，球与环质量均为$m$。$c$与$a$、$b$间均用长为$L$的细线相连，原长为$L$的轻质弹簧套在转轴上，一端固定在轴上$P$点，另一端与环$c$相连。当装置以某一转速转动时，弹簧伸到$1.5L$，环$c$静止在$O$处，此时弹簧弹力等于环的重力，球和环间的细线刚好伸直而无拉力。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为$g$。

(1)求细线刚好伸直而无拉力时，装置转动的角速度$\omega_1$；
(2)如图乙所示，该装置以角速度$\omega_2$(未知)匀速转动时，弹簧长度为$0.5L$，环$c$静止，求此时杆对小球的弹力大小和装置转动的角速度$\omega_2$。

答案： 6.答案　
(1)$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}g}{L}}$
(2)$4mg$ $\sqrt{\frac{6g}{L}}$
解析　
(1)细线刚好伸直而无拉力时，对$a$或$b$小球受力分析，根据牛顿第二定律得$\frac{mg}{\tan30°}=m\omega_1^2L\sin30°$
解得$\omega_1=\sqrt{\frac{2\sqrt{3}g}{L}}$
(2)依题可知，图甲、乙中弹簧弹力大小相等方向相反，故图乙中弹簧弹力的大小为$F_1 = mg$（点拨：弹簧拉伸和压缩的形变量相同）
设细线的拉力大小为$F_2$，细线与竖直轴的夹角为$60°$，对$c$环分析，根据平衡条件得$2F_2\cos60° = mg + F_1$
解得$F_2 = 2mg$
对$a$球分析，在竖直方向，根据平衡条件得$F_N\sin30° = mg + F_2\cos60°$
解得$F_N = 4mg$
在水平方向，根据牛顿第二定律得$F_N\cos30° + F_2\sin60° = m\omega_2^2L\sin60°$
解得$\omega_2=\sqrt{\frac{6g}{L}}$