《2025年5年高考3年模拟高中物理必修第二册人教版江苏专版》

1.(2025湖南常德临澧一中月考)若已知引力常量为$G$,地球表面处的重力加速度为$g$,地球半径为$R$,地球上一个昼夜的时间为$T_1$(地球自转周期),一年的时间为$T_2$(地球公转周期),地球中心到月球中心的距离为$L_1$,地球中心到太阳中心的距离为$L_2$,则下列说法不正确的是(C)

A.地球的质量$m_{地} = \frac{gR^2}{G}$
B.太阳的质量$m_{太} = \frac{4\pi^2L_2^3}{GT_2^2}$
C.月球的质量$m_{月} = \frac{4\pi^2L_1^3}{GT_1^2}$
D.地球的密度$\rho_{地} = \frac{3g}{4\pi RG}$

答案： 1.C 在地球表面，地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，有$G\frac{m_{地}m}{R^{2}} = mg$，则$m_{地} = \frac{gR^{2}}{G}$，A正确；地球绕太阳做圆周运动，太阳对地球的万有引力提供向心力，有$G\frac{m_{太}m_{地}}{L_{2}^{2}} = m_{地}\frac{4\pi^{2}}{T_{2}^{2}}L_{2}$，则$m_{太} = \frac{4\pi^{2}L_{2}^{3}}{GT_{2}^{2}}$，B正确；由$m_{地} = \frac{gR^{2}}{G}$和$\rho_{地} = \frac{m_{地}}{V_{地}}$，$V_{地} = \frac{4}{3}\pi R^{3}$，解得地球的平均密度$\rho_{地} = \frac{3g}{4\pi GR}$，D正确；由题中数据无法求出月球的质量，C错误。

2.(2025江苏常州高级中学月考)将一质量为$m$的物体分别放在地球的南极、北极时,该物体的重力均为$mg_0$;将该物体放在地球赤道上时,该物体的重力为$mg$。假设地球可视为质量分布均匀的球体,半径为$R$,已知引力常量为$G$,则由以上信息可得出(C)

A.$g_0$小于$g$
B.地球的质量为$\frac{gR^2}{G}$
C.地球自转的角速度为$\omega = \sqrt{\frac{g_0 - g}{R}}$
D.地球的平均密度为$\frac{3g}{4\pi GR}$

答案： 2.C 设地球的质量为$M$，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上受到的重力和物体随地球自转所需的向心力是万有引力的分力，有$G\frac{Mm}{R^{2}} = mg + m\omega^{2}R$；物体在南极、北极所受的重力均等于地球对其的万有引力，即$mg_{0} = G\frac{Mm}{R^{2}}$，综上可知$g_{0} ＞ g$，$\omega = \sqrt{\frac{g_{0} - g}{R}}$，故A错误，C正确。物体在南、北极时有$G\frac{Mm}{R^{2}} = mg_{0}$，解得地球的质量为$M = \frac{g_{0}R^{2}}{G}$，故B错误。地球的平均密度为$\rho = \frac{M}{V} = \frac{3g_{0}}{4\pi GR}$，故D错误。
方法技巧
研究天体的圆周运动和天体表面物体的运动问题，重力加速度$g$是联系的桥梁，需掌握两种关系：一是在星球表面物体所受重力等于星球对其的万有引力（忽略星球自转）；二是物体绕星球做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供。

3.(2025江苏南京金陵中学期中)人类探索星辰大海的步伐从未停止,截至2021年底,包括我国“天问一号”在内的火星探测器已经在火星登陆。若探测器登陆前绕火星运行的过程可以近似看成匀速圆周运动,探测器所搭载的传感器测定$t$时间内探测器绕火星飞行的路程是$s$,探测器与火星中心的连线转过的角度为$\theta$。已知引力常量为$G$,火星半径为$r$,则(B)

A.探测器的向心加速度为$\frac{\theta r}{t^2}$
B.火星的质量为$\frac{s^3}{Gt^2\theta}$
C.探测器的角速度为$\frac{s}{t}$
D.火星的密度为$\frac{4s^3}{3\pi Gt^2r^3}$

答案： 3.B 由题知，探测器的线速度为$v = \frac{s}{t}$，角速度为$\omega = \frac{\theta}{t}$，则探测器的向心加速度为$a_{n} = v\omega = \frac{s\theta}{t^{2}}$，故A、C错误；探测器做圆周运动的轨道半径为$r_{1} = \frac{v}{\omega} = \frac{s}{\theta}$，根据万有引力提供向心力，可得$\frac{GMm}{r_{1}^{2}} = mr_{1}\omega^{2}$，联立解得火星的质量为$M = \frac{s^{3}}{G\theta t^{2}}$，故B正确；火星的密度为$\rho = \frac{M}{V} = \frac{3s^{3}}{4\pi G\theta t^{2}r_{1}^{3}}$，故D错误。

4.(2025江西临川一中质量监测)卫星在不同轨道绕地球做圆周运动,卫星速率平方的倒数$\frac{1}{v^2}$与轨道距地面高度$h$的关系图像如图所示,已知图线的纵轴截距为$b$,斜率为$k$,引力常量为$G$,则下列说法正确的是(C)


A.地球的半径为$\frac{b^2}{k}$
B.地球表面附近的重力加速度为$kb^2$
C.地球的质量为$\frac{1}{kG}$
D.地球的平均密度为$\frac{3b^3}{4\pi Gk^4}$

答案： 4.C 设地球半径为$R$，卫星的轨道高度为$h$，卫星绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{(R + h)^{2}} = m\frac{v^{2}}{R + h}$，又$M = \rho · \frac{4}{3}\pi R^{3}$，联立得$\frac{1}{v^{2}} = \frac{3}{4\pi GR^{3}\rho} · h + \frac{3}{4\pi GR^{2}\rho}$，所以$\frac{1}{v^{2}} - h$图线的斜率$k = \frac{3}{4\pi GR^{3}\rho}$，纵轴截距$b = \frac{3}{4\pi GR^{2}\rho}$，解得地球的半径$R = \frac{b}{k}$，A错误；对在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的物体，有$mg = m\frac{v_{0}^{2}}{R}$，可得$g = \frac{v_{0}^{2}}{R}$，结合题意可得$\frac{1}{v_{0}^{2}} = b$，解得地球表面附近的重力加速度$g = \frac{k}{b^{2}}$，B错误；在地球表面有$mg = G\frac{Mm}{R^{2}}$，解得$M = \frac{gR^{2}}{G}$，C正确；由于$b = \frac{3}{4\pi GR^{2}\rho}$，可得$\rho = \frac{3k^{2}}{4\pi Gb^{3}}$，D错误。

5.(2024重庆西南大学附属中学月考)中国空间站是我国自主建成的太空实验室。已知“空间站”绕地球做匀速圆周运动,经过时间$t$,运动的弧长为$s$,与地球中心连线转过的角度为$\theta$(弧度),引力常量为$G$。
(1)求“空间站”环绕地球的周期$T$;
(2)求地球的质量$M$;
(3)已知地球半径为$R$,求地球的平均密度。

答案： 5.答案　
(1)$\frac{2\pi t}{\theta}$　
(2)$\frac{s^{3}}{G\theta t^{2}}$　
(3)$\frac{3s^{3}}{4\pi G\theta t^{2}R^{3}}$
解析　
(1)空间站环绕地球做圆周运动的角速度为$\omega = \frac{\theta}{t}$，则周期为$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi t}{\theta}$。
(2)空间站环绕地球运动的线速度大小为$v = \frac{s}{t}$，则空间站环绕地球运动的轨道半径为$r = \frac{v}{\omega} = \frac{s}{\theta}$，根据万有引力提供向心力，可得$\frac{GMm}{r^{2}} = m\omega^{2}r$，联立解得地球质量为$M = \frac{s^{3}}{G\theta t^{2}}$。
(3)地球半径为$R$，则体积为$V = \frac{4}{3}\pi R^{3}$，解得地球的平均密度为$\rho = \frac{3s^{3}}{4\pi G\theta t^{2}R^{3}}$