《2025年5年高考3年模拟高中物理必修第二册人教版江苏专版》

1.(2025 浙江台州六校联盟期中)有一质量为$m$、半径为$R$、质量分布均匀的球体，在距离球心$O$为$2R$的地方有一质量为$m'$的质点。现从球心与质点的连线上挖去两个半径均为$\frac{1}{2}R$的小球体(两球表面相切)，如图所示，已知引力常量为$G$，则剩余部分对质点的万有引力大小为 (D)


A.$\frac{7Gmm'}{100R^2}$
B.$\frac{157Gmm'}{450R^2}$
C.$\frac{7Gmm'}{36R^2}$
D.$\frac{157Gmm'}{900R^2}$

答案： 1.D 设挖去的一个小球体的质量为$m_1$，球体的密度为$\rho$，有$m = \rho·\frac{4}{3}\pi R^3$，$m_1 = \rho·\frac{4}{3}\pi(\frac{R}{2})^3$，可得$m_1 = \frac{m}{8}$。
挖去小球体前，完整球体对质点的万有引力大小为$F_1 = G\frac{mm'}{(2R)^2} = \frac{Gmm'}{4R^2}$，挖去的左边小球体对质点的万有引力大小为$F_2 = \frac{G·\frac{m}{8}· m'}{(\frac{5}{2}R)^2} = \frac{Gmm'}{50R^2}$，挖去的右边小球体对质点的万有引力大小为$F_3 = \frac{G·\frac{m}{8}· m'}{(\frac{3}{2}R)^2} = \frac{Gmm'}{18R^2}$，
则剩余部分对质点的万有引力大小为$F = F_1 - F_2 - F_3 = \frac{157Gmm'}{900R^2}$，选D。
方法点津
先把挖去的部分“补”上，得到半径为$R$的完整球体，根据万有引力公式，分别计算补回的两个半径为$\frac{R}{2}$的球体和半径为$R$的完整球体对球外质点的万有引力，再利用力的合成与分解规律即可求得结果。

2.(2025 河南部分学校模拟)2025 年 4 月 3 日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号 A 星 02 星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。已知天平三号 A 星 02 星绕地球做匀速圆周运动的周期为$T$，向心加速度大小为$a_0$，将地球看成均匀的球体且半径为$R$，引力常量为$G$，则地球的平均密度为 (D)

A.$\frac{3\pi}{GT^2}$
B.$\frac{3\pi}{GT^2R^3}$
C.$\frac{3a_0^3T^4}{16G\pi^5R^3}$
D.$\frac{3a_0^3T^4}{64G\pi^5R^3}$

答案： 2.D 设天平三号A星$02$星做匀速圆周运动的轨道半径为$r$，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，有
$\frac{GMm}{r^2} = m\frac{4\pi^2}{T^2}r = ma_0$，解得$M = \frac{a_0^3T^4}{16G\pi^4}$，地球的体积为
$V = \frac{4}{3}\pi R^3$，故地球的平均密度为$\rho = \frac{M}{V} = \frac{3a_0^3T^4}{64G\pi^5R^3}$，D正确。
方法点津
解答此类问题要先求出中心天体的质量$M$，然后将中心天体视作标准球体，求出球体的体积$V = \frac{4}{3}\pi R^3$，最后根据密度公式$\rho = \frac{M}{V}$求中心天体的密度。

3.(2025 江苏南通模拟)两颗相距较远的行星$A$、$B$的半径分别为$R_A$、$R_B$，且$R_B = 2R_A$，距行星中心$r$处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的二次方$v^2$随$r$变化的关系如图所示。行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响。
(1)求行星$A$、$B$的密度之比$\rho_A:\rho_B$；
(2)假设有相同的人形机器人在行星$A$、$B$表面的水平地面上从肩位水平射出相同的铅球，在初速度相同的情况下，求铅球射程的比值$x_A:x_B$。

答案： 3.答案
(1)$4:1$
(2)$1:\sqrt{2}$
解析
(1)设质量为$m$的卫星绕行星做圆周运动，有
$\frac{GMm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$
整理得$v^2 = GM·\frac{1}{r}$
由$R_B = 2R_A$，结合图像得两行星的质量关系$M_B = 2M_A$
密度$\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3M}{4\pi R^3}$
则$\rho_A:\rho_B = 4:1$
(2)在每个行星表面
$mg = G\frac{Mm}{R^2}$
两行星表面的重力加速度之比
$g_A:g_B = 2:1$
铅球做平抛运动，竖直方向有$h = \frac{1}{2}gt^2$
水平方向有$x = v_0t$
则$x_A:x_B = 1:\sqrt{2}$
方法点津
根据图像和物理过程，写出$v^2$与$r$的函数关系式，得出图线纵坐标相同时天体的质量关系，再推导出行星的密度及铅球的射程。