《2025年5年高考3年模拟高中物理必修第二册人教版江苏专版》

7.(2025山东聊城期中)北京时间2025年1月7日,实践二十五号卫星发射升空,为超期服役的“北斗三号”G7星注入142公斤推进剂,使后者寿命延长8年。若“北斗三号”G7星在预定轨道做匀速圆周运动的周期为$T$,其轨道半径$r$和地球半径$R$的比值为$k$,引力常量为$G$,则地球的平均密度为(C)

A.$\frac{3\pi(k + 1)^3}{GT^2}$
B.$\frac{\pi(k - 1)^2}{GT^2}$
C.$\frac{3\pi k^3}{GT^2}$
D.$\frac{\pi k^3}{GT^2}$

答案： 7.C 设地球的质量为$M$，“北斗三号”G7星的质量为$m$，“北斗三号”G7星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{r^{2}} = m(\frac{2\pi}{T})^{2}r$，解得$M = \frac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}$，地球的密度$\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^{3}} = \frac{3\pi r^{3}}{GT^{2}R^{3}}$，由题可知$\frac{r}{R} = k$，整理可得$\rho = \frac{3\pi k^{3}}{GT^{2}}$，C正确。

8.(2025安徽芜湖模拟)2025年中国航天将迎来更多突破,新一代载人飞船和月面着陆器将进入实质性测试阶段,我国第四批预备航天员不仅要执行空间站任务,未来也将执行载人登月任务。假设以同样大小的初速度分别在月面和地面竖直上抛小球(不计地面上的空气阻力),小球在月面上升的最大高度为在地面上的6倍。已知地球半径为月球半径的4倍,则地球和月球的平均密度之比为(D)

A.6 : 1
B.1 : 6
C.2 : 3
D.3 : 2

答案： 8.D 根据竖直上抛运动规律可得$h = \frac{v_{0}^{2}}{2g}$，故$\frac{g_{地}}{g_{月}} = \frac{h_{月}}{h_{地}} = \frac{6}{1}$；根据$G\frac{Mm}{R^{2}} = mg$、$M = \rho · \frac{4}{3}\pi R^{3}$，可得$\rho = \frac{3g}{4\pi GR}$，解得$\frac{\rho_{地}}{\rho_{月}} = \frac{g_{地}}{g_{月}} · \frac{R_{月}}{R_{地}} = \frac{3}{2}$，D正确。

9.(2025山东济宁期末)北斗卫星导航系统是我国自主研制、独立运行的全球卫星导航系统,其中一颗静止轨道卫星的运行轨道如图中圆形虚线所示,其对地张角为$2\theta$。已知地球半径为$R$、自转周期为$T$,地球表面的重力加速度为$g$,引力常量为$G$,则地球的平均密度为(C)


A.$\frac{3g}{\pi GR}$
B.$\frac{3\pi}{GT^2}$
C.$\frac{3\pi}{GT^2\sin^3\theta}$
D.$\frac{3\pi}{GT^2\tan^3\theta}$

答案：
9.C 模型建构。
地球半径为$R$，卫星绕地球做圆周运动的轨道半径为$r$，则$\sin\theta = \frac{R}{r}$。

由$\sin\theta = \frac{R}{r}$，解得$r = \frac{R}{\sin\theta}$；卫星绕地球做圆周运动，有$G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$，解得$M = \frac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}} = \frac{4\pi^{2}R^{3}}{GT^{2}\sin^{3}\theta}$；地球的体积为$V = \frac{4}{3}\pi R^{3}$，则地球密度为$\rho = \frac{M}{V} = \frac{3\pi}{GT^{2}\sin^{3}\theta}$，C正确。

10.(2025浙江宁波期末)某同学想利用小孔成像实验估测太阳的平均密度。设计如图所示的装置,不透明的圆筒上底密封,但中央有一小孔$O$,下底为半透明纸,将圆筒轴线正对太阳,可在半透明纸上观察到太阳的像的直径$d = $ 1 cm。已知圆筒长$L = 1$ m,引力常量$G = 6.67 × 10^{-11}$ N·m$^2$/kg$^2$。根据以上信息可得到太阳的平均密度的数量级为(B)


A.$10^1$ kg/m$^3$
B.$10^3$ kg/m$^3$
C.$10^5$ kg/m$^3$
D.$10^6$ kg/m$^3$

答案： 10.B 设太阳的半径为$R$，太阳到地球的距离为$r$，由光路图结合相似三角形知识可得$\frac{d}{r} = \frac{\frac{R}{2}}{\frac{L}{2}}$，解得$R = \frac{dr}{L}$；地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设太阳质量为$M$，地球质量为$m$，则有$G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$，太阳的体积为$V = \frac{4}{3}\pi R^{3}$，则太阳的密度为$\rho = \frac{M}{V} = \frac{24\pi L^{3}}{GT^{2}d^{3}}$，代入数据解得$\rho \approx 1.136 × 10^{3} kg/m^3$，B正确。

11.(2025重庆渝北中学期中)为了今后登陆火星,我国于2020年7月23日在文昌成功发射天问一号火星探测器,假设探测器在到达火星表面前,绕其表面附近匀速飞行(不计其他天体的影响),测量得到探测器绕火星$n$圈的时间为$t$,火星半径为$R$,引力常量为$G$,求：
(1)火星探测器在轨道上匀速飞行的周期$T$;
(2)火星探测器在轨道上匀速飞行的速度$v$大小;
(3)火星的平均密度$\rho$。

答案： 11.答案　
(1)$\frac{t}{n}$　
(2)$\frac{2\pi Rn}{t}$　
(3)$\frac{3\pi n^{2}}{Gt^{2}}$
解析　
(1)探测器绕火星$n$圈所用的时间为$t$，则火星探测器在轨道上匀速飞行的周期$T = \frac{t}{n}$。
(2)探测器在火星表面附近匀速飞行，其轨道半径近似为火星半径$R$，则匀速飞行的速度$v = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2\pi Rn}{t}$。
(3)设火星质量为$M$，根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{R^{2}} = m\frac{v^{2}}{R}$，平均密度$\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}$，联立解得$\rho = \frac{3\pi n^{2}}{Gt^{2}}$

12.关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实,下列说法中正确的是(B)

A.天王星和海王星都是运用万有引力定律经过大量计算而发现的
B.在18世纪已经发现的七颗行星中,人们发现第七颗行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差,于是有人推测,在天王星轨道外还有一颗行星,是它的存在引起了上述偏差
C.第八颗行星是牛顿运用自己发现的万有引力定律,经过大量计算而发现的
D.天王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶合作研究后共同发现的

答案： 12.B天王星是在1781年发现的，而卡文迪什测出引力常量$G$的值是在1798年，在此之前人们还不能用万有引力定律做有实际意义的计算，故A错误；太阳系的第八颗行星即海王星，是由英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶各自独立地利用万有引力定律计算出轨道，由德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近首先发现的，C、D错误。