《2025年活动单导学课程高中数学必修第一册人教版A版》

函数是描述事物运动变化规律的数学模型. 如果了解了函数的变化规律，那么也就掌握了相应事物的变化规律. 因此研究函数的性质是非常重要的. 在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质，这一性质叫做函数的单调性. 下面进一步用符号语言刻画这种性质.
先研究二次函数$f(x)=x^{2}$的单调性.
画出它的图象(如图)，可以看到：
图象在$y$轴左侧部分从左到右是下降的，也就是说，当$x \leqslant 0$时，$y$随$x$的增大而减小；
图象在$y$轴右侧部分从左到右是上升的，也就是说，当$x \geqslant 0$时，$y$随$x$的增大而增大.

思考1
请你用符号语言描述上述单调性?

答案： 函数$f(x)=x^{2}$在$(-\infty,0]$上单调递减，在$[0,+\infty)$上单调递增。

思考2
函数$f(x)=|x|$，$f(x)=-x^{2}$各有怎样的单调性?

答案： 函数$f(x)=|x|$的单调性
1. 当$x\in(-\infty,0]$时，$f(x)=-x$。任取$x_1＜x_2\leq0$，则$f(x_1)-f(x_2)=(-x_1)-(-x_2)=x_2-x_1＞0$，即$f(x_1)＞f(x_2)$，故$f(x)$在$(-\infty,0]$上单调递减。
2. 当$x\in[0,+\infty)$时，$f(x)=x$。任取$0\leq x_1＜x_2$，则$f(x_1)-f(x_2)=x_1-x_2＜0$，即$f(x_1)＜f(x_2)$，故$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增。
函数$f(x)=-x^2$的单调性
任取$x_1＜x_2$，则$f(x_1)-f(x_2)=(-x_1^2)-(-x_2^2)=(x_2-x_1)(x_2+x_1)$。
1. 当$x_1＜x_2\leq0$时，$x_2-x_1＞0$，$x_2+x_1＜0$，则$f(x_1)-f(x_2)＜0$，即$f(x_1)＜f(x_2)$，故$f(x)$在$(-\infty,0]$上单调递增。
2. 当$0\leq x_1＜x_2$时，$x_2-x_1＞0$，$x_2+x_1＞0$，则$f(x_1)-f(x_2)＞0$，即$f(x_1)＞f(x_2)$，故$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递减。
结论：
$f(x)=|x|$在$(-\infty,0]$单调递减，在$[0,+\infty)$单调递增；
$f(x)=-x^2$在$(-\infty,0]$单调递增，在$[0,+\infty)$单调递减。