《2025年活动单导学课程高中数学必修第一册人教版A版》

例4  求下列各式中的$x$的值:
(1)$\log_{64}x = -\frac{2}{3}$;
(2)$\log_{x}8 = 6$;
(3)$\lg100 = x$;
(4)$-\ln e^{2}=x$.

答案：
(1) $\frac{1}{16}$
(2) $\sqrt{2}$
(3) 2
(4) -2

思考4▶▶▶
在对数式$x = \log_{a}N$中,底数$a$和真数$N$的取值范围是什么,为什么?

答案： 在对数式$x = \log_{a}N$中：
对于底数$a$，根据对数的定义，$a$必须大于$0$且不等于$1$。若$a = 1$，则$a^x$始终为$1$，无法取到除$1$以外的其他数，对数无意义；若$a\leqslant0$，例如$a = - 2$，当$x=\frac{1}{2}$时，$(-2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2}$在实数范围内无意义，所以$a＞0$且$a\neq1$。
对于真数$N$，因为对数式$x = \log_{a}N$是指数式$a^x = N$的逆运算，在指数函数$y = a^x$（$a＞0$且$a\neq1$）中，$a^x＞0$，所以$N＞0$。

思考5▶▶▶
是不是所有的实数都有对数?为什么?

答案： 不是所有的实数都有对数，负数和0没有对数。

思考6▶▶▶
根据对数的定义以及对数与指数的关系,你能求出$\log_{a}1$与$\log_{a}a$的值吗?

答案： 【解析】：根据对数的定义，如果$a^{x}=N$（$a＞0$，且$a\neq1$），那么数$x$叫做以$a$为底$N$的对数，记作$x=\log_{a}N$。
令$\log_{a}1 = x$，则根据对数与指数的关系可得$a^{x}=1$，因为任何非零数的$0$次幂都等于$1$，所以$x = 0$，即$\log_{a}1=0$。
令$\log_{a}a = y$，则$a^{y}=a$，因为任何非零数的$1$次幂都等于它本身，所以$y = 1$，即$\log_{a}a = 1$。
【答案】：$\log_{a}1 = 0$，$\log_{a}a = 1（答案以文字整体理解给出对应结果形式） （此处按题目要求只给出答案相关填空位置内容） boxed{（这里按题目特殊要求实际无盒式框需求，按解析答案对应）0,1 对应含义）} （因格式要求，按整体答案形式明确）$（实际按题目要求直接写结果）$\log_{a}1$结果为0对应填空，$\log_{a}a$结果为1对应填空（最终按规范明确）
（按照题目要求最终清晰给出）
【答案】：$\log_{a}1$的值为$0$，$\log_{a}a$的值为$1$（按题目要求最终答案呈现形式）0,1

思考7▶▶▶
已知$a＞0,a \neq 1,N＞0,b \in \mathbf{R}$.
(1)$\log_{a}a^{2}=$2,$\log_{a}a^{5}=$5,
$\log_{a}a^{-3}=$-3,$\log_{a}a^{\frac{1}{5}}=$$\frac{1}{5}$,
一般地,$\log_{a}a^{b}=$b,你能证明这个结论吗?
(2)你能推出对数恒等式$a^{\log_{a}N}=N$吗?

答案：
(1) $2$，$5$，$-3$，$\frac{1}{5}$，$b$
证明：设$\log_{a}a^{b}=x$，根据对数的定义，有$a^{x}=a^{b}$，因为$a＞0$且$a\neq1$，所以$x=b$，即$\log_{a}a^{b}=b$。
(2) 令$t = \log_{a}N$，则由对数定义知$a^{t}=N$，所以$a^{\log_{a}N}=a^{t}=N$。

例5  求下列各式中$x$的值:
(1)$\log_{2}(\log_{5}x)=0$;
(2)$\log_{3}(\lg x)=1$;
(3)$8^{1 - \log_{8}5}=x$.

答案：
(1) 5
(2) 1000
(3) $\frac{8}{5}$

若$\log_{2}(\log_{3}x)=\log_{3}(\log_{4}y)=\log_{4}(\log_{2}z)=0$,则$x + y + z =$9.

答案： 9