《2025年活动单导学课程高中数学必修第一册人教版A版》

思考1
观察正弦函数的图象,在图象上,横坐标每隔$2\pi$个单位长度,就会出现纵坐标相同的点,这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律,这一点可以从定义中看出,也可用我们前面学习的哪个公式来说明?

答案： $\sin(2k\pi + x) = \sin x (k\in\mathbf{Z})$

思考2
如何用数学语言刻画函数的周期性?

答案： 对于函数$y = f(x)$，如果存在一个非零常数$T$，使得当$x$取定义域内的每一个值时，都有$f(x + T)=f(x)$，那么函数$y = f(x)$就叫做周期函数，非零常数$T$叫做这个函数的周期。如果在周期函数$f(x)$的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做$f(x)$的最小正周期。

思考3
正弦函数和余弦函数的周期是多少?

答案： 周期都是$2k\pi(k\in Z,k\neq0)$，最小正周期是$2\pi$（题目未明确求什么周期，按常规理解阐述结果）。

思考4
(1) 对于函数$y = \sin x,x \in \mathbf{R}$,有$\sin(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{6}$,能否说$\frac{2\pi}{3}$是它的周期?
(2) 如果函数$f(x)$的周期为$T$,那么$2T$是不是它的周期? $3T,4T$呢? 你能发现一般规律吗?

答案：
(1)不能；
(2)是，是，nT(n为非零整数)也是周期

思考5
一个周期函数的周期有多少个? 周期函数的图象具有什么特征?

答案： 一个周期函数的周期有无数个；周期函数的图象具有周期性重复出现的特征。