《2025年活动单导学课程高中数学必修第一册人教版A版》

跟踪训练
已知$f(x)$是$\mathbf{R}$上的偶函数，在区间$[0, +\infty)$上单调递增，若有$f(-2a + 3) ＞ f(2a - 1)$成立，求实数$a$的取值范围.

答案： 跟踪训练 (-∞,1)

例4 已知函数$f(x)$满足：当$x, y \in \mathbf{R}$时，恒有$f(x + y) = f(x) + f(y)$.
(1) 求证：函数$f(x)$是奇函数；
(2) 若当$x ＞ 0$时，$f(x) ＜ 0$，且$f(1) = -\frac{1}{2}$，试求函数$f(x)$在区间$[-2, 6]$上的最值.

答案：
(1) 证明：令$x=0$，$y=0$，则$f(0 + 0)=f(0)+f(0)$，即$f(0)=2f(0)$，得$f(0)=0$。
令$y=-x$，则$f(x + (-x))=f(x)+f(-x)$，即$f(0)=f(x)+f(-x)$。
因为$f(0)=0$，所以$f(-x)=-f(x)$，故函数$f(x)$是奇函数。
(2) 任取$x_1$，$x_2\in\mathbf{R}$，且$x_1 ＜ x_2$，则$x_2 - x_1 ＞ 0$。
由题意知当$x ＞ 0$时，$f(x) ＜ 0$，所以$f(x_2 - x_1) ＜ 0$。
又因为$f(x_2)=f(x_1 + (x_2 - x_1))=f(x_1)+f(x_2 - x_1)$，所以$f(x_2)-f(x_1)=f(x_2 - x_1) ＜ 0$，即$f(x_2) ＜ f(x_1)$，故函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上是减函数。
因为$f(1)=-\frac{1}{2}$，所以$f(2)=f(1 + 1)=f(1)+f(1)=-\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})=-1$，$f(6)=f(3 + 3)=f(3)+f(3)$，而$f(3)=f(2 + 1)=f(2)+f(1)=-1 + (-\frac{1}{2})=-\frac{3}{2}$，所以$f(6)=-\frac{3}{2}+(-\frac{3}{2})=-3$。
因为函数$f(x)$是奇函数，所以$f(-2)=-f(2)= -(-1)=1$。
又因为函数$f(x)$在区间$[-2,6]$上是减函数，所以函数$f(x)$在区间$[-2,6]$上的最大值为$f(-2)=1$，最小值为$f(6)=-3$。

跟踪训练
已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的函数，对任意的$x, y \in \mathbf{R}$，都有$f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) · f(y)$，且$f(0) \neq 0$.
(1) 求证：$f(0) = 1$；
(2) 判断函数$y = f(x)$的奇偶性.

答案：
(1)证明：令$x=0$，$y=0$，则$f(0 + 0)+f(0 - 0)=2f(0)·f(0)$，即$2f(0)=2f(0)^2$。因为$f(0)\neq0$，两边同时除以$2f(0)$得$f(0)=1$。
(2)令$x=0$，则$f(0 + y)+f(0 - y)=2f(0)·f(y)$，即$f(y)+f(-y)=2×1×f(y)$，化简得$f(-y)=f(y)$，所以函数$y = f(x)$是偶函数。