《2025年活动单导学课程高中数学必修第一册人教版A版》

跟踪训练
已知$ y=(m^2 + 2m - 2)x^{m^2 - 1}+2n - 3 $是定义域为$ \mathbf{R} $的幂函数，求$ m $，$ n $的值。

答案： 跟踪训练$m = - 3,n = \frac{3}{2}$

例2
写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性：
（1）$ y = x^3 $；
（2）$ y = x^{\frac{1}{2}} $；
（3）$ y = x^{-2} $。

答案： 例2
(1)定义域是R,奇函数.
(2)定义域是$[0, + \infty)$，既不是奇函数，也不是偶函数.
(3)定义域是$(-\infty,0)\cup(0, + \infty)$，偶函数.

思考4
在同一平面直角坐标系中画出下列函数：$ y = x $，$ y = x^2 $，$ y = x^3 $，$ y = x^{\frac{1}{2}} $，$ y = x^{-1} $的图象。

答案：
解:

思考5
观察函数图象并结合函数解析式，你能填写表格的内容吗？

思考6
通过图象和表你能发现什么规律？

答案： 1. 首先求定义域：
对于$y = x$：
定义域为$R$。
对于$y=x^{2}$：
定义域为$R$。
对于$y = x^{3}$：
定义域为$R$。
对于$y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$：
由$x\geqslant0$，定义域为$[0,+\infty)$。
对于$y = x^{-1}=\frac{1}{x}$：
由$x\neq0$，定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
2. 然后求值域：
对于$y = x$：
值域为$R$。
对于$y=x^{2}$：
因为$x^{2}\geqslant0$，值域为$[0,+\infty)$。
对于$y = x^{3}$：
值域为$R$。
对于$y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$：
因为$\sqrt{x}\geqslant0$，值域为$[0,+\infty)$。
对于$y = x^{-1}=\frac{1}{x}$：
值域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
3. 接着判断奇偶性：
对于$y = x$：
令$f(x)=x$，$f(-x)=-x=-f(x)$，是奇函数。
对于$y=x^{2}$：
令$f(x)=x^{2}$，$f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)$，是偶函数。
对于$y = x^{3}$：
令$f(x)=x^{3}$，$f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)$，是奇函数。
对于$y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$：
定义域$[0,+\infty)$不关于原点对称，是非奇非偶函数。
对于$y = x^{-1}=\frac{1}{x}$：
令$f(x)=\frac{1}{x}$，$f(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f(x)$，是奇函数。
4. 最后判断单调性：
对于$y = x$：
设$x_{1}\lt x_{2}$，$f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}-x_{2}\lt0$，在$R$上单调递增。
对于$y=x^{2}$：
设$x_{1}\lt x_{2}$，$f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=(x_{1} - x_{2})(x_{1}+x_{2})$，在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增。
对于$y = x^{3}$：
设$x_{1}\lt x_{2}$，$f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=(x_{1}-x_{2})(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})=(x_{1} - x_{2})[(x_{1}+\frac{x_{2}}{2})^{2}+\frac{3x_{2}^{2}}{4}]$，因为$x_{1}\lt x_{2}$，$f(x_{1})-f(x_{2})\lt0$，在$R$上单调递增。
对于$y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$：
设$0\leqslant x_{1}\lt x_{2}$，$f(x_{1})-f(x_{2})=\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}}=\frac{x_{1}-x_{2}}{\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}}\lt0$，在$[0,+\infty)$上单调递增。
对于$y = x^{-1}=\frac{1}{x}$：
设$x_{1}\lt x_{2}\lt0$，$f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}\gt0$，在$(-\infty,0)$上单调递减；设$0\lt x_{1}\lt x_{2}$，$f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}\gt0$，在$(0,+\infty)$上单调递减。
|项目|$y = x$|$y=x^{2}$|$y = x^{3}$|$y=x^{\frac{1}{2}}$|$y = x^{-1}$|
|---|---|---|---|---|---|
|定义域|$R$|$R$|$R$|$[0,+\infty)$|$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$|
|值域|$R$|$[0,+\infty)$|$R$|$[0,+\infty)$|$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$|
|奇偶性|奇函数|偶函数|奇函数|非奇非偶函数|奇函数|
|单调性|在$R$上单调递增|在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增|在$R$上单调递增|在$[0,+\infty)$上单调递增|在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上单调递减|
思考6规律：
幂函数$y = x^{\alpha}$，当$\alpha\gt0$时，$y = x^{\alpha}$在$(0,+\infty)$上有定义且单调递增（$y=x^{2}$在$(0,+\infty)$单调递增）；当$\alpha\lt0$时，$y = x^{\alpha}$在$(0,+\infty)$上有定义且单调递减；当$\alpha$为奇数时，$y = x^{\alpha}$（$\alpha\neq - 1$时定义域$R$，$\alpha=-1$定义域$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$）是奇函数，当$\alpha$为偶数时，$y = x^{\alpha}$（$\alpha\gt0$）是偶函数。