《2025年活动单导学课程高中数学必修第一册人教版A版》

思考5
如何判断两个集合相等？

答案： 解：若对于集合$A$与集合$B$，满足$A\subseteq B$（即集合$A$中的任意一个元素都是集合$B$中的元素）且$B\subseteq A$（即集合$B$中的任意一个元素都是集合$A$中的元素），那么就可以判断集合$A$与集合$B$相等，记作$A = B$。也就是说，从元素的角度看，两个集合所包含的元素完全相同（元素的种类和数量都一样，与元素的排列顺序无关）时，这两个集合相等。例如集合$A=\{1,2,3\}$，集合$B = \{3,2,1\}$，因为$A$中的元素$1$、$2$、$3$都在$B$中，$B$中的元素$3$、$2$、$1$也都在$A$中，即$A\subseteq B$且$B\subseteq A$，所以$A = B$。
综上，判断两个集合相等的方法是判断两个集合相互包含，即$A\subseteq B$且$B\subseteq A$。

例1 请判断下列各组对象能否构成集合，并说明理由.
(1) 不超过$5$的自然数；
(2) 很小的实数；
(3) 高一(1)班里个子高的学生；
(4) 接近于$0$的所有数.

答案： 例1
(1)能
(2)不能
(3)不能
(4)不能

【跟踪训练】
在“①著名的数学家；②所有的正三角形；③方程$x^2 - 2 = 0$的实数解”中，能够构成集合的是
(C)

A.②
B.③
C.②③
D.①②③

答案： 跟踪训练 C

例2 已知集合$A$含有两个元素$a$和$a^2$，若$1 \in A$，则实数$a$的值为-1.

答案： 例2
(1) -1

【跟踪训练】
已知集合$A$含有两个元素$a - 3$和$2a - 1$，若$a \in A$，则实数$a$的值是1.

答案： 跟踪训练 1