《2025年活动单导学课程高中数学必修第一册人教版A版》

例1 当$a,b\in \mathbf{R}$时，下列不等关系中成立的是(C)

A.$a + b\geqslant 2\sqrt{ab}$
B.$a - b\geqslant 2\sqrt{ab}$
C.$a^{2}+b^{2}\geqslant 2ab$
D.$a^{2}-b^{2}\geqslant 2ab$

答案： 例1 C

例2 已知$x ＞ 0$，求$x+\dfrac{1}{x}$的最小值.

答案： 例2 所求的最小值为2.

跟踪训练
已知$x ＞ 0$，则$4x+\dfrac{9}{x}$的最小值为12.

答案： 跟踪训练 12

例3 已知$x$，$y$都是正数，求证：
（1）如果积$xy$等于定值$P$，那么当$x = y$时，和$x + y$有最小值$2\sqrt{P}$；
（2）如果和$x + y$等于定值$S$，那么当$x = y$时，积$xy$有最大值$\dfrac{S^{2}}{4}$.

答案： （1）
因为$x$，$y$都是正数，$xy = P$（定值），
根据基本不等式$x + y\geqslant 2\sqrt{xy}$，
将$xy = P$代入可得$x + y\geqslant 2\sqrt{P}$，
当且仅当$x = y$时，等号成立，
所以当$x = y$时，和$x + y$有最小值$2\sqrt{P}$。
（2）
因为$x$，$y$都是正数，$x + y=S$（定值），
根据基本不等式$\sqrt{xy}\leqslant\frac{x + y}{2}$，
两边同时平方可得$xy\leqslant(\frac{x + y}{2})^{2}$，
将$x + y = S$代入可得$xy\leqslant\frac{S^{2}}{4}$，
当且仅当$x = y$时，等号成立，
所以当$x = y$时，积$xy$有最大值$\frac{S^{2}}{4}$。

例4 设$a$，$b$为正数，证明下列不等式成立.
（1）$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\geqslant 2$；
（2）$a + b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geqslant 4$.

答案： （1）因为$a$，$b$为正数，所以$\frac{a}{b} ＞ 0$，$\frac{b}{a} ＞ 0$。由基本不等式得$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\sqrt{\frac{a}{b} · \frac{b}{a}} = 2$，当且仅当$\frac{a}{b} = \frac{b}{a}$，即$a = b$时，等号成立，故$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$。
（2）因为$a$，$b$为正数，所以$a ＞ 0$，$\frac{1}{a} ＞ 0$，$b ＞ 0$，$\frac{1}{b} ＞ 0$。由基本不等式得$a + \frac{1}{a} \geq 2\sqrt{a · \frac{1}{a}} = 2$，当且仅当$a = \frac{1}{a}$，即$a = 1$时等号成立；同理$b + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{b · \frac{1}{b}} = 2$，当且仅当$b = \frac{1}{b}$，即$b = 1$时等号成立。所以$a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (a + \frac{1}{a}) + (b + \frac{1}{b}) \geq 2 + 2 = 4$，当且仅当$a = b = 1$时，等号成立，故$a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$。

跟踪训练
证明：
（1）$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\leqslant - 2$（$a$，$b$异号）；
（2）$a+\dfrac{1}{a}+1\geqslant 3$（$a ＞ 0$）.

答案： （1）证明：因为$a$，$b$异号，所以$\frac{b}{a} ＜ 0$，$\frac{a}{b} ＜ 0$。令$x = -\frac{b}{a}$，$y = -\frac{a}{b}$，则$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，且$xy = 1$。由基本不等式得$x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2$，即$-\frac{b}{a} - \frac{a}{b} \geq 2$，所以$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \leq -2$。
（2）证明：因为$a ＞ 0$，所以$a + \frac{1}{a} \geq 2\sqrt{a · \frac{1}{a}} = 2$，当且仅当$a = \frac{1}{a}$，即$a = 1$时等号成立。所以$a + \frac{1}{a} + 1 \geq 2 + 1 = 3$。