《2025年活动单导学课程高中数学必修第一册人教版A版》

例4 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率 $ v $ (单位: $ km/h $) 与时间 $ t $ (单位: $ h $) 的关系如图所示.
(1) 求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
(2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 $ 2004 km $，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 $ s $ (单位: $ km $) 与时间 $ t $ 的函数解析式，并画出相应的图象.

答案：
解:
(1) 阴影部分的面积为360，阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km.
(2)$s = \begin{cases} 50t + 2004, & 0 \leq t ＜ 1, \\ 80(t - 1) + 2054, & 1 \leq t ＜ 2, \\ 90(t - 2) + 2134, & 2 \leq t ＜ 3, \\ 75(t - 3) + 2224, & 3 \leq t ＜ 4, \\ 65(t - 4) + 2299, & 4 \leq t \leq 5, \end{cases}$

跟踪训练
在某疾病的治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品，生产此药品的年固定成本为 $ 250 $ 万元，每生产 $ x(x ＞ 0) $ 千件需另投入成本 $ C(x) $ 万元. 当年产量不足 $ 80 $ 千件时，$ C(x) = \frac{1}{3}x^2 + 10x $；当年产量不小于 $ 80 $ 千件时，$ C(x) = 51x + \frac{10000}{x} - 1450 $. 每件药品的售价为 $ 0.05 $ 万元，假设该公司生产的此药品能全部售完.
(1) 写出生产此药品获得的年利润 $ L(x) $ (单位: 万元) 关于年产量 $ x $ (单位: 千件) 的函数解析式；
(2) 该公司决定将生产此药品所获利润的 $ 1\% $ 用来捐赠，那么当年产量为多少千件时，生产此药品获得的年利润最大? 此时可捐赠多少万元?

答案： 跟踪训练
(1) $L(x) = \begin{cases} -\frac{1}{3}x^2 + 40x - 250, & 0 ＜ x ＜ 80, \\ 1200 - (x + \frac{10000}{x}), & x \geq 80, \end{cases}$ $1000x \in \mathbb{N}^*$.
(2) 当年产量为100千件时，生产此药品获得的年利润最大，最大年利润为1000万元，此时可捐赠$1000 × 1\% = 10$ (万元).